Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

γα
γα
⎛⎞ ⎛ ⎞
∂∂ ∂∂
⎟⎟
⎜⎜
=
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝ ⎠
∂∂ ∂ ∂
1
11
expl expl
kk
AA
xX Xx
1
и, поскольку тензор антисимметричен по верхним индексам,
γα ⋅
⋅⋅
1
1
k
B
γα
αγ
⋅
⋅⋅
⎛⎞
∂
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
∂∂
⎝⎠
1
1
1
2
expl
0
k
B
XX
.
Следующим в ряду условий совместности будет
αα
αα αα
αα
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅
∂∂
⎛⎞⎛⎞
∂∂
⎟
⎜⎜
−+ − =
⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎝⎠⎝⎠
∂∂ ∂ ∂
11
12
21 21
12 21
21 2 2
expl expl
0
kk
kk kk
kk
LL
LL
xx X X
⎟
⎟
⎟
, (7.30)
или
γα α α γα α
α
γα γ
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
⎛⎞⎛
⎛⎞ ⎛ ⎞
∂∂∂
∂∂ ∂
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
+− +
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎟⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠⎝
12121
1
1121
21 2 2
expl expl
expl
kkkk
kk k
BBC
A
xx X X x X
⎞
+
⎠
(7.31)
αα γα α γα
α
αγ γ
⋅⋅⋅ ⋅
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅
⎛⎞⎛
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂
∂∂∂
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
++ −+
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
∂∂ ∂ ∂∂ ∂
⎟⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝
21 2 1 1
1
212 2
21 12
expl expl
expl
0
kkk k
kkk
BC B
A
Xx X xx X
⎞
=
⎠
.
Это условие тождественно удовлетворяется в силу перестановочности
частного дифференцирования и антисимметрии тензора по любой
паре греческих индексов.
γα α⋅⋅
⋅⋅ ⋅
21
21
kk
C
Используя, по-прежнему, квадратные скобки для обозначения опера-
ции альтернирования по заключенным в них индексам, условие совмест-
ности (7.30) представим в форме
α
αα
α
⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅
∂
⎛
∂
⎟
⎜
=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂∂
1
1
21
21
22
[
[]
]
expl
k
kk
k
L
L
xX
⎞
. (7.32)
Аналогично могут быть найдены еще два условия совместности:
αα
ααα
α
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
∂
⎛
∂
⎟
⎜
−=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂∂
21
12
321
321
33
[
[]
]
expl
kk
kkk
k
L
L
xX
⎞
, (7.33)
ααα
αααα
α
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
∂
⎛
∂
⎟
⎜
−=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂∂
321
123
4321
4321
44
[
[]
]
expl
kkk
kkkk
k
L
L
xX
⎞
. (7.34)
Приведем также необходимые для понимания формул (7.32)–(7.34)
соотношения:
α
α
⋅
⋅
∂
=
∂
1
1
1
12
2
k
kk
k
L
P
x
,
α
αα
⋅
⋅
∂
== −
∂
1
1
11
12 12 21
2
[
[]
]
1
()
2
k
kk kk kk
k
L
PPP
x
α
1
;
αα
αα
⋅⋅
⋅⋅
∂
=
∂
21
12
21
123
3
kk
kkk
k
L
P
x
,
αα
αα
⋅⋅
⋅⋅
∂
=
∂
21
12
21
123
3
[
[]
]
kk
kkk
k
L
P
x
,
αα αα αα αα αα αα αα
= −−−++
21 21 21 21 21 21 21
123 123 213 321 132 231 312
[]
1
()
3!
kkk kkk kkk kkk kkk kkk kkk
PPPPPPP
;
51
ααα
ααα
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
∂
=
∂
321
123
321
1234
4
kkk
kkkk
k
L
P
x
,
ααα
ααα
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
∂
=
∂
321
123
321
1234
4
[
[]
]
kkk
kkkk
k
L
P
x
,

Страницы