Нелинейная теория упругости как физическая теория поля. Радаев Ю.Н - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Здесь последнее слагаемое при условии, что число физических поле-
вых величин в точности равно , может быть представлено в форме
+ 1n
γα α α
αα αγ
ϕϕϕϕ
−
−
+
−
−
+
⋅⋅⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅
∂
∂∂ ∂∂
∂
11
11
1
11
11
1
...
...
( )...( )( )( )
nn
nn
n
nn
nn
n
kk k
k
kkk
k
A
x
=
11
1
11 11
11
1
...
...
( )...( )( )( )
nn
n
nn nn
nn
n
kk k
k
kkk
k
A
x
γα α α
αα αγ
ϕϕϕϕε
−
+
−−
−
+
∂
=∂ ∂ ∂ ∂ =
∂
11
111
1
...
...
nn
nnn
n
kk k
kkk k
k
A
J
x
ε
−
+−
+
∂
=
∂
,
где есть якобиан отображения .
J
++
→
12 1 12 1
( , ,..., ) ( , ,..., )
nn
XX X xx x
7.5. Нулевые лагранжианы, инвариантные относительно сдвигов
физических полей
Поставим далее задачу о разыскании наиболее общей формы лагран-
жиана пустого пространства, инвариантного относительно сдвигов поле-
вых величин
ϕ
Эта проблема особенно интересна в связи с представлени-
ем нелинейно упругого поля в поврежденной среде, когда лагранжиан за-
ведомо явно будет зависеть от материальных переменных
X
s
.
β
.
)
)
Сформулированная проблема сразу же решается в случае, когда число
пространственно-временных координат равно трем и имеется три по-
левых величины , которые в применении к нелинейной теории упруго-
сти мы, как обычно, отождествим с переменными Эйлера .
β
X
ϕ
s
s
x
Действительно, скалярные и тензорные поля , , , в выраже-
нии (7.5) для лагранжиана пустого трехмерного пространства необходимо
должны удовлетворять соотношениям совместности (7.19)
A B C D
expl expl
grad DivA =B, ,
=−
TT
expl expl
(Rot ) rotCB
T
expl expl
Grad divD =C
.
Учитывая, что не зависят от переменных , приходим к урав-
нениям
,A
,B
C
s
x
, , ,
expl
Div B=0 =
expl
Rot C0
expl
Grad D =0
из которых следует, что лагранжиан пустого трехмерного пространства
будет инвариантен относительно сдвигов эйлеровых переменных , толь-
ко если , есть некоторая постоянная, и найдутся 1-
ковариантное пространственное 1-ковариантное отсчетное тензорное поле
и контравариантное пространственное векторное поле
такие, что
s
x
()
β
=AAX
D
(
β
αα
=
kk
EEX
(
β
=
kk
AAX
, , (7.37) =×
expl expl
Rot ( )
X
B= E E ∇ =⊗
expl expl
Grad ( )
X
C= A A ∇
или в координатной записи
53

Страницы