Составители:
Рубрика:
9
Выделим из группы проективных преобразований плоскости P
2
множества преобразований G
1
и G
2
, относительно которых фигура
Э
П
A
остаётся инвариантной. Во множество G
1
отнесём все проективные
преобразования плоскости P
2
, в которых абсолютные прямые l
1
и l
2
являются
двойными, а во множество G
2
– преобразования, переводящие абсолютные
прямые l
1
и l
2
друг в друга.
∗
Преобразования множеств G
1
, G
2
назовём линейными преобразованиями
коевклидовой плоскости первого и второго рода соответственно.
Если матрица
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, (2)
где det || a
ij
|| ≠ 0, i, j = 1, 2, 3, определяет проективные преобразования
плоскости P
2
, то в репере R множества G
1
и G
2
изоморфны соответственно
множествам невырожденных матриц вида:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
333231
1112
1211
0
0
aaa
aa
aa
и
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
333231
1112
1211
0
0
aaa
aa
aa
.
Таким образом, множество всех линейных преобразований
коевклидовой плоскости состоит из двух связных компонент G
1
, G
2
и может
быть задано невырожденной матрицей вида:
,0
0
333231
1112
1211
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
aaa
aa
aa
εε
(3)
где
(
)
.0,1
2
12
2
1133
≠+±= ааа
ε
Преобразования, заданные матрицей (3), образуют группу.
∗∗
Назовем ее
фундаментальной группой G преобразований коевклидовой плоскости.
Преобразовния группы G будем называть коевклидовыми преобразованиями.
Первая компонента G
1
группы G, в отличие от второй, не содержащей
тождественного преобразования, является разрешимой группой Ли.
∗
Множества G
1
, G
2
содержат все линейные преобразования плоскости Р
2
, относительно
которых инвариантна квадрика
Э
П
A
, и каждое преобразование множеств G
1
, G
2
является
линейным [11, стр. 118, 119].
∗∗
Инварианты этой группы определяют коевклидову геометрию [5].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
