Составители:
Рубрика:
8
Часть I. Геометрия коевклидовой плоскости
Глава 1. Проективные инварианты коевклидовой
плоскости
1.1 Абсолют и фундаментальная группа коевклидовой плоскости.
Семейство канонических реперов
1. Группа евклидовых преобразований плоскости является подгруппой
группы проективных преобразований, относительно которой инвариантны
действительная прямая и пара комплексно сопряженных, так называемых
циклических, точек на ней [2, стр. 77].
Фигуру, инвариантную относительно группы преобразований некоторой
плоскости, будем как обычно называть абсолютом этой плоскости [2,
стр.
326], [8, стр. 189].
Абсолют евклидовой плоскости – действительную прямую с парой
принадлежащих ей комплексно сопряженных точек – обозначим
П
Э
А
,
учитывая, что с его помощью на евклидовой плоскости можно ввести
параболическое измерение расстояний между точками и эллиптическое
измерение углов [5, стр. 190].
По малому принципу двойственности абсолюту евклидовой плоскости
соответствует вырожденная линия второго порядка – пара комплексно
сопряженных прямых, пересекающихся в действительной точке. Обозначим
эту фигуру
Э
П
А
.
Проективную плоскость P
2
с фиксированной вырожденной квадрикой
Э
П
A
назовем коевклидовой плоскостью.
∗
Вырожденную квадрику
Э
П
A
будем
называть
абсолютной квадрикой, или абсолютом коевклидовой плоскости.
Точки множества
Э
П
APK \
22
= назовем собственными точками
коевклидовой плоскости, а точки самой квадрики – несобственными, или
абсолютными, или бесконечно удаленными точками коевклидовой
плоскости.
На плоскости P
2
выберем проективный репер R = {A
1
, A
2
, A
3
, E} таким
образом, чтобы комплексно сопряженные прямые l
1
и l
2
, определяющие
абсолютную квадрику, в репере R были заданы соответственно уравнениями:
x
1
= i x
2
и x
1
= – i x
2
. (1)
Тогда единственная действительная точка абсолюта, точка Р пересечения
прямых l
1
и l
2
, совпадает с координатной вершиной A
3
выбранного репера, а
уравнение 0
2
2
2
1
=+ xx определяет вырожденную квадрику
Э
П
A .
∗
Приставка ко- (от лат. con – вместе) здесь – соответствие по принципу двойственности.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
