Составители:
Рубрика:
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Идея исследования различных неевклидовых геометрий в единой
логической системе коренится в трудах английского математика Артура Кэли
(Cayley Arthur, 1821 – 1895), который вводит мероопределение с помощью
образа второго порядка и тем самым устанавливает связь между теорией
инвариантов и проективной геометрией [5, стр. 329]. Впервые
сформулирована данная идея в знаменитой лекции немецкого математика
Феликса Клейна (Klein Christian Felix, 1849 – 1925), прочитанной в 1872 году
в университетете г. Эрланген (Германия) и известной под названием
«Эрлангенская программа» [12, стр. 656]. Согласно представлениям Кэли и
Клейна о геометрии как совокупности свойств фигур, инвариантных
относительно некоторой подгруппы группы проективных преобразований,
существует девять различных геометрий [3], [5], [7, стр. 106], [10],
определенных образом второго порядка на проективной плоскости.
Интересно отметить, что Клейн шесть из девяти соответствующих
мероопределений считал «логически равноправными с евклидовой
геометрией», но «непригодными к практическим применениям во внешнем
мире» [5, стр.209]. Возможно, именно эта «непригодность» с точки зрения
корифея геометрии привела к ситуации, когда к началу третьего тысячелетия
от рождества Христова четыре из девяти указанных геометрий оказались
почти неизвестными миру. Двум из четырех «таинственных незнакомок»
посвящена данная книга.
Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей [9, стр. 367]
соответствуют по малому принципу двойственности евклидовой и
псевдоевклидовой планиметриям. Абсолюты этих плоскостей –
вырожденные линии второго порядка, пары прямых, мнимо сопряженных и
действительных соответственно.
В книге определены фундаментальные группы преобразований,
семейства канонических реперов и метрические инварианты указанных
плоскостей. Введены понятие ковектора и основные
операции над
ковекторами. Проведена классификация линейных преобразований каждой
плоскости, показано, что существует четыре класса коевклидовых линейных
преобразований первого рода и три – второго, семь классов линейных
копсевдоевклидовых преобразований первого рода и четыре – второго,
конструктивно определен каждый класс преобразований. Доказаны свойства
коевклидовых и копсевдоевклидовых преобразований. На коевклидовой
плоскости выделены движения как преобразования,
сохраняющие без
изменения углы между прямыми. На копсевдоевклидовой плоскости
аналогично выделены движения, полудвижения как преобразования,
сохраняющие расстояния между прямыми, пересекающимися на одной из
абсолютных прямых, и абсолютные движения как преобразования,
сохраняющие расстояния между прямыми, пересекающимися на любой
абсолютной прямой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
