Составители:
Рубрика:
10
2. Матрица (3) содержит пять коэффициентов, определенных в силу
однородности проективных координат с точностью до общего множителя.
Следовательно, группа преобразований коевклидовой плоскости зависит от
четырех независимых параметров.
Число независимых коэффициентов в матрице преобразований
пространства называют подвижностью пространства [4]. Определив
матрицу (3), мы показали, что подвижность коевклидовой плоскости равна
четырем.
∗
Можно показать, что подвижность пространства, фундаментальная
группа которого есть подгруппа группы проективных преобразований, (в
частности, подвижность коевклидовой плоскости) не зависит от выбора
координатного репера и равна
kn −−+ 1)1(
2
, где n – размерность
пространства, а k – число независимых параметров, необходимых для
задания абсолюта пространства.
Заметим, что, в отличие от количества коэффициентов, вид матрицы (3)
определен видом уравнений (1), то есть, определен, в том числе, и выбором
координатного репера. В свою очередь координатный репер видом
уравнений (1) определен неоднозначно.
Покажем, что семейство проективных реперов,
допускающих задание
абсолютной квадрики уравнениями (1) (все реперы этого семейства будем
называть каноническими реперами коевклидовой плоскости) зависит от
четырех параметров. То есть на коевклидовой плоскости существует
4
∞
канонических реперов.
Для этого достаточно показать, что для полной фиксации канонического
репера необходимо израсходовать четыре параметра.
Прежде всего, выделим геометрические свойства канонического репера,
инвариантные относительно всех коевклидовых преобразований.
1.
Третья координатная вершина А
3
совпадает с точкой Р пересечения
абсолютных прямых.
2.
Координатные вершины А
1
, А
2
, а следовательно, и координатные
прямые А
1
А
3
и А
2
А
3
гармонически разделяют прямые абсолюта.
3.
Точки Е
12
= А
1
+ А
2
и Е
21
= А
1
– А
2
гармонически разделяют прямые
абсолюта.
Отметим общие положения, которые помогут вести подсчет
расходуемых параметров при фиксации канонического репера.
1
0
. Точку не проективной плоскости можно задать
2
∞ способами,
расходуя два параметра, равные, например, соответственно двум
отношениям однородных проективных координат данной точки.
2
0
. Задать точку на прямой можно
1
∞
способами, затратив один
параметр.
∗
Подвижность евклидовой плоскости также равна четырем, а подвижность, например,
плоскости флаговой, так называемой плоскости Галилея, [5], [7] – пяти.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
