Составители:
Рубрика:
11
3
0
. Задать прямую на плоскости можно
2
∞
способами. Действительно,
каждую прямую проективной плоскости можно определить заданием любых
двух ее точек. Задание двух точек на плоскости зависит от четырех
параметров (m=2×2=4). Но для задания прямой полная фиксация самих точек
не требуется. Следовательно, в m включены лишние параметры. Пару точек
на прямой можно выбрать
2
∞ способами (n=2). Например, фиксируя одну из
точек, вторую перемещать вдоль прямой, потратить при этом один параметр,
и еще один параметр потратить, перемещая первую точку. Именно эти два
параметра являются лишними. Следовательно, задать прямую на плоскости
можно, расходуя два параметра (m-n).
4
0
. Задание прямой, проходящей через данную точку, зависит от одного
параметра. Действительно, для фиксации прямой, проходящей через данную
точку, требуется еще одна точка (два параметра). Но эта точка может быть
выбрана на прямой
1
∞ способами, то есть один из двух параметров –
лишний.
Вести подсчет параметров, расходуемых при канонизации репера,
можно следующим образом. Третья вершина репера совпадает с общей
точкой абсолютных прямых, то есть, определена однозначно заданием
абсолюта. Задание прямой, проходящей через эту точку, например, прямой
A
1
A
3
, зависит от одного параметра. Еще один параметр израсходуем на
задание точки A
1
на прямой A
1
A
3
. Положение прямой A
1
A
3
однозначно
определяет положение прямой A
2
A
3
, гармонически разделяющей с прямой
A
1
A
3
пару абсолютных прямых. Расходуя один параметр, построим точку A
2
на прямой A
2
A
3
.
На прямой A
1
A
2
однозначно определена пара точек E
12
(1:1:0), E'
12
(–1:1:0),
гармонически разделяющих абсолютные прямые и пару точек A
1
, A
2
. На
прямой A
3
E
12
, расходуя один параметр, выберем единичную точку E(1:1:1)
координатного репера. Таким образом, однозначное задание единичной
точки и вершин канонического репера зависит от четырех параметров.
Можно показать, что число параметров семейства канонических реперов
некоторого пространства совпадает с подвижностью этого пространства.
Этот факт объясняет выбор термина «подвижности пространства», как
степени свободы перемещения канонических
реперов.
Отметим, что введенный канонический репер коевклидовой плоскости
является аналогом ортонормированного репера плоскости евклидовой (см. §3
гл. 2), его применение позволяет получить более компактные метрические
формулы. По ходу изложения мы будем отмечать, какие именно рассуждения
и формулы соответствуют каноническому реперу, а какие являются общими
для произвольных реперов плоскости.
1.2 Формулы преобразования координат. Ориентация плоскости
1
. Пусть R = {A
1
, A
2
, A
3
, E} и R' = {A'
1
, A'
2
, A'
3
, E'} – канонические реперы
коевклидовой плоскости, причем вершины репера R' в репере R имеют
координаты: A'
1
(а
11
: а
21
: а
31
), A'
2
(а
12
: а
22
: а
32
), A'
3
(а
13
: а
23
: а
33
), E' (а
10
: а
20
: а
30
).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
