Составители:
Рубрика:
15
Полагая, что по мнимой точке произвести разрез прямой невозможно, мы
получаем замкнутую эллиптическую прямую. Но наличие бесконечно
удаленных точек K
1
, K
2
существенно отличают эллиптическую прямую от
проективной. Они дают возможность вводить для точек эллиптической
прямой отношения и понятия, неприменимые к точкам проективной прямой
(§§ 6, 7).
Наиболее интересными являются прямые с двумя действительными
бесконечно удаленными точками, гиперболические прямые (рис. 1, г).
Разрезав такую прямую по недостижимым точкам, получим два ее «куска»,
каждый из которых имеет
два направления, или две «стороны для прогулок».
Гиперболическими прямыми являются, например, прямые пространства
Лобачевского. Во второй части пособия мы опишем геометрию
гиперболических прямых, как неизотропных прямых копсевдоевклидовой
плоскости.
2. Все действительные прямые коевклидовой плоскости либо проходят
через действительную абсолютную точку Р, либо пересекают абсолютные
прямые в комплексно сопряжённых точках. То есть являются либо
параболическими, либо эллиптическими прямыми. Прямые первого типа
будем называть изотропными прямыми коевклидовой плоскости, второго –
неизотропными.
Через каждую точку коевклидовой плоскости проходит одна и только
одна изотропная прямая
. Свойство прямой быть изотропной (неизотропной)
инвариантно относительно преобразований группы G, так как в каждом
преобразовании этой группы точка P является неподвижной.
На коевклидовой плоскости только для изотропных прямых имеет
смысл понятие параллельности, то есть пересечения в бесконечно удаленной
точке. В этом смысле все изотропные прямые параллельны.
1.4 Уравнение изотропной прямой. Отрезки и лучи изотропной
прямой. Инвариант трёх точек изотропной прямой
1
. Изотропные прямые коевклидовой плоскости в силу наличия
бесконечно удаленной действительной точки P являются аффинными
прямыми. Следовательно, на них могут быть введены понятия и отношения
аффинной геометрии.
Пусть А (а
1
: а
2
: а
3
) – некоторая точка коевклидовой плоскости. Прямая
AP в каноническом репере R имеет уравнение:
,0
100
321
321
=aaa
xxx
или a
2
x
1
– a
1
x
2
= 0, где 0
2
2
2
1
≠+ aa , так как точки A и P различны.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
