Составители:
Рубрика:
17
Множество всех точек прямой АР разобьем на классы эквивалентности
по отношению õ. Если две точки находятся в отношении õ, поместим их в
один класс, если точки не находятся в отношении õ, поместим их в
различные классы.
Для любой точки Т прямой АР существует единственная точка Т',
четвертая гармоническая к
тройке точек Т, А, Р. Точки Т и Т' принадлежат
различным классам по отношению õ, так как
(ТТ' АР) = – 1 < 0.
Для каждой точки М прямой АР имеет место равенство:
(ТТ' АР) = (ТМ АР)(МТ' АР) < 0,
следовательно, числа (ТМ АР) и (МТ' АР) имеют разные знаки, поэтому точка
М принадлежит либо классу, содержащему точку Т, либо классу,
содержащему точку Т'. Таким образом, существует точно два класса
эквивалентности по отношению õ. Каждый класс назовем лучом с началом в
данной точке А. Будем говорить, что каждый луч
с началом в точке А
определяет направление на прямой l. Очевидно, на каждой изотропной
прямой относительно ее некоторой точки существует точно два направления.
Рассуждая аналогично, можно доказать, что каждые две коллинеарные
точки А и В разделяют множество всех точек содержащей их изотропной
прямой на три класса.
Множество точек, состоящее из
коллинеарных точек А, В и всех точек X,
разделяющих с бесконечно удаленной точкой P пару A, B, назовём
изотропным отрезком AB. Точки A и B назовём концами этого отрезка.
Множество всех точек изотропной прямой АВ, не разделяющих с точкой
Р пару точек А и В, можно разбить точно на два
класса так, чтобы любые две
точки одного класса не разделяли пару точек А и Р, или, что равносильно, не
разделяли пару точек В и Р. Каждый из классов является лучом с началом в
точке А, или лучом с началом в точке В.
3. Пусть A, B, C – три различные точки изотропной прямой. Число
–(ABCР), инвариантное относительно фундаментальной группы
преобразований коевклидовой плоскости, назовём простым отношением
трёх точек A, B, C изотропной прямой. Если (ABCР
) = –t, то будем говорить,
что точка C делит изотропный отрезок AB в отношении t. Обозначение:
(АВ,С) = t.
Если точка C принадлежит изотропному отрезку AB, то есть разделяет с
точкой P пару точек A, B, то по определению t больше нуля.
Найдём формулы деления отрезка в данном отношении t.
Точки A, B, C лежат
на одной изотропной прямой, согласно
рассуждениям пункта 1 их координаты в каноническом репере R можно
записать в виде A (
µ
: λ: a), B (
µ
: λ: b), C (
µ
: λ: c). Учитывая, что (ABCР)= – t,
выразим c через a, b и t.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
