Составители:
Рубрика:
159
Глава 4. Линейные копсевдоевклидовы преобразования
4.1 Вид преобразования. Инвариантные изотропные прямые
копсевдоевклидовых преобразований
1. Пусть фундаментальная группа Q преобразований
копсевдоевклидовой плоскости ((3), гл. 1) задана матрицей
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
333231
1112
1211
0
0
aaa
aa
aa
εε
, (1)
где ε = ±1,
(
)
.0
2
12
2
1133
≠− ааа
Если в каноническом репере R некоторая точка копсевдоевклидовой
плоскости задана своими координатами: M (m
1
: m
2
: m
3
), то условие
принадлежности точки M первому (второму) абсолютному углу ((4), гл. 2) в
координатах имеет вид:
2
2
2
1
mm −
> 0
(
)
0
2
2
2
1
<− mm
.
Точка M' (a
11
m
1
+ a
12
m
2
: εa
12
m
1
+ εa
11
m
2
: m'
3
), образ точки M в
преобразовании Н, заданном матрицей (1), принадлежит первому (второму)
абсолютному углу, если выполняются соответствующие неравенства:
(
)
(
)
0
2
2
2
1
2
12
2
11
>−− mmaa
(
)
(
)
(
)
0
2
2
2
1
2
12
2
11
<−− mmaa
.
Следовательно, преобразование копсевдоевклидовой плоскости,
заданное матрицей (1), сохраняет (изменяет) принадлежность точки данному
абсолютному углу, то есть сохраняет (изменяет) согласование плоскости (см.
§2, гл. 1), тогда и только тогда когда для коэффициентов матрицы (1)
выполняется соответствующее неравенство:
(
)
0
2
12
2
11
>− аа
(
)
(
)
0
2
12
2
11
<− aa
. (2)
Преобразования копсевдоевклидовой плоскости, сохраняющие
(изменяющие) принадлежность точки данному абсолютному углу, будем
называть соответственно преобразованиями первого (второго) вида.
2. Прежде чем провести классификацию преобразований
копсевдоевклидовой плоскости докажем утверждения, позволяющие найти
инвариантные изотропные прямые преобразований каждого рода.
Образом точки М (m
1
: m
2
: m
3
) в копсевдоевклидовом преобразовании H
первого рода ((1), ε =1) является точка
()
333232131211112212111
:: mamamamamamamaM +
+
+
+
′
(3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- …
- следующая ›
- последняя »
