Составители:
Рубрика:
160
Изотропная прямая, содержащая точку M, является инвариантной в
преобразовании Н тогда и только тогда, когда точки M и М'
коллинеарны.
Условие коллинеарности точек М, М' в координатах имеет вид:
,0
100
333232131211112212111
321
=++++ mamamamamamama
mmm
или
(
)
0
2
2
2
112
=− mma
.
Если для преобразования H а
12
≠ 0, то последнее условие равносильно
равенству |m
1
| = |m
2
|, которое имеет место только для точек абсолютных
прямых l
1
, l
2
копсевдоевклидовой плоскости.
Следовательно, при а
12
≠ 0 преобразование не имеет собственных
инвариантных изотропных прямых.
Если в матрице (1) преобразования H а
12
= 0, то каждая точка
копсевдоевклидовой плоскости коллинеарна со своим образом в данном
преобразовании. То есть каждая изотропная прямая в преобразовании H
является инвариантной. Такие преобразования в соответствии с
определением, введенным в первой части пособия для преобразований
коевклидовой плоскости, будем называть коллинеарными преобразованиями
копсевдоевклидовой плоскости.
Образом точки М (m
1
: m
2
: m
3
) в копсевдоевклидовом преобразовании
второго рода, заданном матрицей (1) при ε = – 1, является точка
()
333232131211112212111
:: mamamamamamamaM
+
+
−
−+
′
. (4)
Условие коллинеарности точек М, М' в координатах имеет вид:
02
2
2122111
2
112
=++ mammama
. (5)
Уравнение (5) относительно координат точки М является тождеством
тогда и только тогда, когда а
11
= а
12
= 0. Но при этих условиях матрица (1) не
определяет преобразования копсевдоевклидовой плоскости, так как ее
определитель равен нулю.
Следовательно, среди преобразований второго рода копсевдоевклидовой
плоскости нет коллинеарных преобразований.
Определяя из уравнения (5) зависимости между двумя первыми
однородными координатами точки М
,
12
2
12
2
1111
2,1
2
1
a
aaa
m
m
−±−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
(6)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- …
- следующая ›
- последняя »
