Составители:
Рубрика:
161
получаем две изотропные прямые
(
)
,0:
212111
2
12
2
112,1
=−−−± xaxаааd
проходящие через соответствующую точку М, и инвариантные в силу
коллинеарности точек М, М'. Непосредственная проверка дает: (d
1
d
2
l
1
l
2
) = –1.
Для преобразований первого (второго) вида выполняется первое (второе)
условие (5) главы 1. Следовательно, в правой части равенств (6) для
преобразований первого (второго) вида получаем числа действительные
(комплексно сопряженные). Соответственно виду преобразования получаем
либо вещественные, либо мнимо сопряженные инвариантные прямые d
1
, d
2
.
Таким образом, справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если Н – коллинеарное преобразование копсевдоевклидовой
плоскости, то Н – преобразование первого рода.
Теорема 2. Если Н – преобразование первого рода копсевдоевклидовой
плоскости, заданное матрицей (1) при ε = 1, то при а
12
≠ 0 Н не имеет
инвариантных изотропных прямых, а при а
12
= 0 Н является коллинеарным
преобразованием, в котором инвариантна каждая изотропная прямая.
Теорема 3. Каждое преобразование второго рода копсевдоевклидовой
плоскости имеет две ортогональные друг другу инвариантные изотропные
прямые. Инвариантные прямые являются действительными, если
преобразование первого вида, комплексно сопряженными, если
преобразование второго вида.
4.2 Классификация преобразований копсевдоевклидовой плоскости
Классификацию преобразований копсевдоевклидовой плоскости
проведем
с учетом наличия инвариантных элементов преобразований.
Пусть M (x
1
: x
2
: x
3
) – двойная точка преобразования группы Q (1), тогда
её проективные координаты, неравные нулю одновременно, удовлетворяют
системе уравнений:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
+=
+=
,
,
,
3332321313
2111122
2121111
xaxaxax
xaxax
xaxax
ρ
εερ
ρ
или
(
)
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−++
=−+
=+−
.0
,0
,0
333232131
211112
212111
xaxaxa
xaxa
xaxa
ρ
ρεε
ρ
(7)
Ненулевые решения данной системы однородных линейных уравнений
существуют при условии равенства нулю определителя системы, то есть при
условии:
.00
0
333231
1112
1211
=
−
−
−
ρ
ρεε
ρ
aaa
aa
aa
(8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- …
- следующая ›
- последняя »
