Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

163
и определяет инвариантную точку на второй абсолютной прямой
(
)
32313311123312112
:: aaaaaaaaH
−
+
−
−−
. (14)
Таким образом, в первом (наиболее общем) случае преобразование
имеет три несобственные инвариантные точки: P, H
1
, H
2
.
Из инвариантности точек H
1
, H
2
следует инвариантность проходящей
через них неизотропной прямой:
()()
(
)
(
)
.0
2
12
2
3311332113332311223111333132121
=−−+−++−+ aaaxaaaaaaxaaaaaax
(15)
Предположим, что преобразование имеет еще одну действительную
собственную инвариантную прямую t. Тогда точка Т ее пересечения с прямой
(15) является двойной точкой преобразования и либо является собственной
точкой копсевдоевклидовой плоскости, либо совпадает с одной из точек Н
1
,
Н
2
абсолютной квадрики. Если Т совпадает с Н
1
(Н
2
), то точка пересечения
прямой t с абсолютной прямой l
1
(l
2
) также инвариантна в данном
преобразовании. Но данное преобразование не имеет двойных точек,
отличных от точек P, H
1
, H
2
.
Следовательно, прямая (15) – единственная
неподвижная прямая преобразования.
Итак, если корни уравнения (9) различны, то преобразование имеет
следующие инвариантные элементы: три несобственные точки; одну
действительную неизотропную прямую.
2. Уравнение (9) имеет двукратный корень
Возможны три варианта: ρ
1
= ρ
2
, ρ
1
= ρ
3
, или ρ
2
= ρ
3
. Определим для
каждого варианта неподвижные элементы преобразования.
1. Пусть ρ
1
= ρ
2
, то есть а
33
= а
11
+ а
12
.
Тогда при ρ = ρ
1
= ρ
2
система уравнений (7) принимает вид:
(
)
⎩
⎨
⎧
=+
=−
.0
,0
232131
2112
xaxa
xxa
(16)
Если а
12
= 0, то ρ
2
= ρ
3
и, следовательно, уравнение (9) имеет
трехкратный корень, что не соответствует данному случаю. Поэтому а
12
≠ 0.
Система уравнений (16) при а
32
≠
– а
31
определяет единственную
неподвижную точку P (0:0:1), а при а
32
=
– а
31
– множество двойных точек,
совпадающее с абсолютной прямой l
1
.
При ρ = ρ
3
= а
11
– а
12
система уравнений (7) имеет вид:
()
⎩
⎨
⎧
=++
=+
02
,0
312232131
2112
xaxaxa
xxa
(17)
и определяет неподвижную точку на абсолютной прямой l
2
:

Страницы