Составители:
Рубрика:
164
()
323112121
:2:2 aaaaK
−
−
. (18)
2. Пусть ρ
1
= ρ
3
, то есть а
33
= а
11
– а
12
. Тогда по аналогии с первым
случаем при а
32
≠
а
31
получаем двойную точку на абсолютной прямой l
1
:
()
323112122
:2:2 aaaaK
+
, (19)
а при а
32
= а
31
– точку K
2
и бесконечное множество двойных точек,
заполняющих абсолютную прямую l
2
.
Заметим, что в двух рассмотренных вариантах при условиях
3132121133
, ааaaa
−
=+=
(
)
3132121133
, aaaaa =
−
=
(20)
в силу поточечной инвариантности прямой l
1
(l
2
) преобразования имеют
бесконечное множество двойных неизотропных параллельных друг другу
прямых, принадлежащих пучку с центром в точке K
1
(K
2
).
Согласно теореме 2 в рассмотренных случаях при условии (20) двойных
изотропных прямых преобразования не имеют.
При условиях
3132121133
, aaaaa
−
≠
+
=
(
)
3132121133
, aaaaa ≠
−
=
(21)
в двух рассмотренных вариантах преобразования имеют только две
несобственные неподвижные точки P и K
1
(K
2
), следовательно, при этих
условиях преобразования не имеют собственных инвариантных прямых.
3. Пусть ρ
2
= ρ
3
. Тогда а
11
+ а
12
=
а
11
– а
12
, и, следовательно, а
12
= 0.
По теоремам 1, 2 преобразования этого вида и только они являются
коллинеарными преобразованиями копсевдоевклидовой плоскости.
При ρ = ρ
1
= а
33
система уравнений (7) принимает вид
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=−
=−
0
,0
,0
232131
23311
13311
xaxa
xaa
xaa
(22)
и так как а
33
≠
а
11
(иначе совпадают все три корня уравнения (9)) определяет
единственную двойную точку преобразования: Р (0:0:1).
При ρ = ρ
2
= ρ
3
= а
11
система уравнений (7) равносильна уравнению
(
)
0
31133232131
=
−
+
+ xaaxaxa
, (23)
которое при а
33
≠
а
11
определяет неизотропную прямую инвариантных точек
данного преобразования. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Каждое коллинеарное преобразование копсевдоевклидовой
плоскости, заданное матрицей (1) при a
11
≠ a
33
, имеет поточечно
неподвижную неизотропную прямую.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- …
- следующая ›
- последняя »
