Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

188
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+−
−+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+−
−+
=
λλλ
λλ
λλ
λλλ
λλ
λλ
2)1()1(
011
011
1
010
001
1
010
001
2)1()1(
011
011
2
ssvvvvss
В
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−
+−
−+
=
λλλλλ
λλ
λλ
22)1(2)1(
011
011
vsvs
. (75)
Таким образом, G
1
T
1
=T
1
G
1
, G
2
T
2
=T
2
G
2
. Что и требовалось доказать.
Композицию гомотетии с коэффициентом λ относительно пучка
параллельных прямых (a, b) и сдвига на ненулевой изотропный ковектор
V,
направляющая которого не содержит центр пучка (a, b), назовем скользящей
гомотетией с коэффициентом λ на ковектор
V относительно пучка (a, b),
или кратко: скользящей гомотетией.
Матрицы В
2
(В
1
)
имеют вид матрицы А
1
(таблица 3, приложение 2) при
условиях (21) соответственно, так как по условию данный ковектор
V –
ненулевой, то есть в матрицах (73), (74), (75) v ≠ 0. Следовательно,
скользящая гомотетия представлена во второй строке таблицы 3
преобразований копсевдоевклидовой плоскости.
С другой стороны, каждую матрицу вида А
1
при условиях (21) можно
представить соответствующей матрицей В
2
, В
1
, а, следовательно, в виде
произведения матрицы Т
1,2
(73) и соответствующей матрицы (70). Таким
образом, каждое преобразование, представленное во второй строке таблицы
3, является скользящей гомотетией.
При λ > 0 (λ < 0) скользящая гомотетия является преобразованием
первого (второго) вида.
В силу выполнимости условий (21) скользящая гомотетия в общем
случае (при λ ≠ –1) является полудвижением. Расстояние между
параллельными прямыми, пересекающимися на второй (первой) прямой
абсолюта
при скользящей гомотетии с коэффициентом λ относительно пучка
с центром на первой (второй) прямой абсолюта изменяется в
()
λ
λ
1
раз.
Центр пучка (a, b) – единственная неподвижная точка преобразования.
Матрицы В
1
, В
2
имеют вид матриц L
1
, L
2
соответственно и задают
абсолютное псевдодвижение тогда и только тогда, когда λ = – 1. В этом
случае гомотетия относительно пучка параллельных прямых, входящая в
композицию скользящей гомотетии, является ортогональным отражением в
пучке (a, b).
7. Тождественное преобразование
Тождественное преобразование может быть задано матрицей A
4
таблицы
3 копсевдоевклидовых преобразований.

Страницы