Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

189
8. Псевдоевклидово вращение
Выберем неизотропную прямую t, пару ортогональных точек K, N на
этой прямой и действительное число λ, λ ≠ ±1, λ ≠ 0.
Псевдоевклидовым вращением с коэффициентом λ (обозначение:
λ
NK
PR
,
)
назовем преобразование копсевдоевклидовой плоскости, в котором каждой
точке M плоскости соответствует такая ее точка M', для которой
выполняются следующие условия:
1)
изотропные прямые РМ и РМ'
гармонически разделяют изотропные
прямые РK и РN;
2)
прямая KN делит угол M'KM в отношении (–λ), то есть
((KM')(KM)(KN)(KP)) = λ.
Точку K назовем центром псевдоевклидова вращения, точку N –
коцентром.
Условия 1, 2 при λ ≠ 0 определяют преобразование копсевдоевклидовой
плоскости. Требование λ ≠ ±1 исключает инвариантность каждой прямой
пучка с центром в точке K (N).
Найдем аналитическую запись псевдоевклидова
вращения с
коэффициентом λ.
Прежде всего, покажем, что введенное преобразование Н второго рода.
Пусть точка М', заданная в некотором каноническом репере R однородными
координатами (4), – образ произвольной точки M (m
1
: m
2
: m
3
) в
преобразовании Н копсевдоевклидовой плоскости. Центр и коцентр
вращения зададим в том же репере однородными координатами: K (k
1
: k
2
: k),
N (k
2
: k
1
: n). Гармоническая разделенность каждой точки М плоскости со
своим образом в данном преобразовании относительно изотропных прямых
PK, PN приводит к следующему условию:
,1
21
211112212111
12
21
12
211112212111
21
21
−=
++
++
kk
mamamama
kk
mm
kk
mamamama
kk
mm
εε
εε
или
()( )
()
()
.0)(21
)(2
2
2
2
111211221
2
2
2
1122111
2
2
2
1
=+−++
++−+
kkakkamm
kkakkamm
ε
ε
(76)
Тождественное выполнение равенства (76) равносильно двум условиям:
(
)
.1,
2
21
2
2
2
1
12
11
−=
+
−=
ε
kk
kk
a
a
(77)

Страницы