Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

193
значение λ. Затем, рассматривая выражения (77), (85), (86), (87) как
уравнения относительно переменных
2
1
22
,,
k
k
k
k
k
n
можно однозначно
определить инвариантные точки K, N. Следовательно, заданием матрицы А
5
при условии
0
2
12
2
11
>− аа
однозначно определено некоторое псевдоевклидово
вращение.
9. Евклидово вращение
Выберем неизотропную прямую t, пару мнимо сопряженных
ортогональных точек K, N на этой прямой и мнимое число λ.
Евклидовым вращением с коэффициентом λ (обозначение:
λ
NK
ER
,
)
назовем преобразование копсевдоевклидовой плоскости, в котором каждой
точке M плоскости соответствует такая ее точка M', что:
1) изотропные прямые РМ и РМ'
гармонически разделяют мнимо
сопряженные изотропные прямые РK и РN;
2) ((KM)(KM'),(KN)) = – 1/ λ, или ((KM)(KM')(KP)(KN)) = λ.
Найдем аналитическую запись евклидова вращения с коэффициентом λ.
Ортогональные мнимо сопряженные точки K, N в некотором
каноническом репере зададим координатами:
()
(
)
.::,::
3333
ibaibaibaNibaibaibaK −
+
−
+
−+
Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям предыдущего пункта,
получим матрицу евклидова вращения
.
2)()()()(
0
0
33333333
2222
2222
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−−++−
−−−
+−
λλλ
iabbaabibbaabaabibbaа
baba
baab
(90)
По определению λ – мнимое число, поэтому все коэффициенты а
ij
,
i, j = 1, 2, 3, матрицы (90) – действительные числа, следовательно, матрица
определяет преобразование второго рода копсевдоевклидовой плоскости.
Для коэффициентов а
11
, а
12
матрицы (90) справедливо неравенство:
()
(
)
)91(,04
22
2
22
2
222
12
2
11
<−=+−−=− babaabаа
следовательно, евклидово вращение – преобразование второго вида. Поэтому
евклидовы вращения не содержат движений.
В евклидовом вращении инвариантны данные, мнимо сопряженные
точки K, N и, следовательно, проходящая через них прямая. Таким образом,
введенное преобразование можно рассматривать как некоторое вращение
вокруг точки Р плоскости евклидовой с абсолютом, состоящим из пары точек

Страницы