Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

196
Таким образом, свойство отражения от точки быть абсолютным
движением зависит от выбора системы координат.
Если центр симметрии совпадает с координатной вершиной, то в
матрице Н
3
(Н
4
)
(51) a
31
= a
32
= 0.
11. Скользящее отражение
На копсевдоевклидовой плоскости имеют место следующие три
теоремы, справедливые и на плоскости коевклидовой.
Теорема 16. Композиция отражения от точки и сдвига на данный
неизотропный ковектор является коммутативной тогда и только тогда, когда
центр симметрии принадлежит направляющей ковектора.
Доказательство. Пусть в каноническом репере R отражение от точки
K(k
1
: k
2
: k
3
) задано матрицей Z (95), а сдвиг на неизотропный ковектор
V(v
1
; v
2
) матрицей:
.
1
010
001
21
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
vv
T
(96)
Произведение матриц Z и T коммутативно тогда и только тогда, когда
выполняется условие
.0
2211
=
+
vkvk
(97)
Направляющая ковектора
V(v
1
; v
2
) ((17), гл. 2, ч. 1) в репере R имеет
однородные координаты: (v
1
: v
2
: 0). Следовательно, условие (97) выражает
принадлежность точки K направляющей ковектора
V.
Что и требовалось доказать.
Преобразование копсевдоевклидовой плоскости, являющееся
композицией сдвига на неизотропный ковектор
V и отражения от точки K,
принадлежащей направляющей ковектора
V, назовем скользящим
отражением от точки K с ковектором
V, или кратко: скользящим
отражением. Обозначение:
VK
K
V
TZS °=
.
Если
V – нулевой ковектор, то
K
V
S
– центральная симметрия. Итак,
центральная симметрия – частный случай скользящего отражения.
Следствием теоремы 16 и определения скользящего отражения является
следующая теорема.
Теорема 17. В скользящем отражении композиция отражения от точки и
сдвига на неизотропный ковектор коммутативна.
Следующая теорема позволит нам конструктивно определить каждое
движение второго рода.
Теорема 18. Любое движение второго рода можно представить в виде
композиции отражения от точки и сдвига на ковектор, направляющая
которого проходит через центр отражения.

Страницы