Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 199 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

198
При a
12
= 0 последние два условия (99) имеют вид
,0)(
331131
=
+ aaa
.0)(
331132
=
+
aaa
Откуда с учетом первого равенства (99) получаем две возможные
матрицы преобразований.
,
00
00
00
11
11
11
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
a
a
a
E
.00
00
113231
11
11
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
aaa
a
a
I
Матрица E задает тождественное преобразование, которое согласно
определению не является инволютивным. Матрица I совпадает с матрицей
Н
2
(50) и определяет абсолютное движение – симметрию относительно
неизотропной прямой (a
31
: a
32
: –2a
11
).
Доказана теорема.
Теорема 19. Инволюциями первого рода являются симметрии
относительно неизотропных прямых, и только они.
2. Инволюции второго рода
Преобразование H второго рода зададим матрицей (1) при
1
−
=
ε
.
Матрица квадрата данного преобразования имеет вид:
.00
00
2
33333231123211333132123111
2
12
2
11
2
12
2
11
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++−+−
−
−
=
aaaaaaaaaaaaa
aa
aa
B
Матрица В определяет тождественное преобразование тогда и только
тогда, когда одновременно выполнены условия (17), (19). При этих условиях
преобразование H является отражением от точки.
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 20. Инволюциями второго рода являются отражения от точки, и
только они.
Итак, инволюциями копсевдоевклидовой плоскости являются симметрии
относительно прямой и отражения от точки.

Страницы