Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

201
абсолютных углов, во втором – эквигиперболой (от лат. aequus – равный,
одинаковый), учитывая, что она одинаково расположена по отношению к
абсолютным углам, по отношению к каждой изотропной прямой.
2. Найдем аналитические условия принадлежности овальной линии
каждому определенному типу. Пусть в некотором каноническом репере R
копсевдоевклидовой плоскости невырожденная линия второго порядка
задана общим уравнением
0222
322331132112
2
333
2
222
2
111
=+++++ xxaxxaxxaxaxaxa
, (1)
где D = det || a
ij
|| ≠ 0, i, j = 1, 2, 3, а прямые l
1
и l
2
, определяющие абсолютную
квадрику, – соответственно уравнениями:
,
21
xx
=
(2)
.
21
xx
−
=
(3)
Тогда системы уравнений (1), (2) и (1), (3) определяют общие точки
квадрики с абсолютом. Система уравнений (1), (2) ((1), (3)) равносильна при
соответствующем знаке «+», «–» системе уравнений:
()()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+±++±
±=
.022
,
2
333231331221211
2
1
21
xaaaxxaaax
xx
(4)
Дискриминант второго уравнения соответствующей системы (4) равен
(
)
332233123311
2
232313
2
132,1
224 aaaaaaaaaaD −−+±= m
, (5)
или в тангенциальных координатах квадрики
(
)
2212112,1
24 AAAD
+
−
= m
. (6)
Введем обозначение:
.2
4
221211
2,1
2,1
ААА
D
+=−=∆ m
(7)
Знаки действительных чисел ∆
1
, ∆
2
имеют геометрическую
характеристику, они определяет количество и природу общих точек квадрики
и соответствующей прямой абсолюта, следовательно, являются
инвариантами квадрики. Каждому типу овальных линий соответствует
определенный набор знаков чисел ∆
1
, ∆
2
.
Условие принадлежности общей точки абсолютных прямых овальной
линии равносильно равенству нулю координаты а
33
в общем уравнении
линии. Следовательно, уравнения орипарабол и оригипербол, и только этих
линий, характеризуются условием:

Страницы