Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

202
.0
33
=
а
(8)
Условие (8) инвариантно относительно копсевдоевклидовых
преобразований, так как относительно этих преобразований инвариантна
точка пересечения прямых абсолюта.
Остается аналитически разделить типы бигипербол и эквигипербол.
Только для эквигиперболы точка пересечения прямых абсолюта –
внутренняя, следовательно, только эквигипербола характеризуется тем
свойством, что каждая изотропная прямая пересекает ее в двух
вещественных точках.
Зададим в каноническом
репере R изотропную прямую k уравнением:
12
txx
=
. (9)
Тогда уравнение
(
)
(
)
022
2
333132331111222
22
1
=+++++ xaataxxataatx
. (10)
определяет общие точки прямой k и овальной линии (1).
Нас интересуют условия, при которых независимо от значения
параметра t уравнение (10) имеет два вещественных корня. Дискриминант
уравнения (10) в этом случае должен быть тождественно больше нуля:
()
()
,02
4
3311
2
13331223133322
2
23
2
>−+−+−= aaaaaaataaat
d
(11)
или в тангенциальных координатах:
.02
221211
2
>−+− AtAAt
(12)
Тождественное выполнение неравенства (12) равносильно условиям:
.0
,0
11
2
122211
<
>−=
A
AAAI
(13)
Условия (13) характеризуют тип эквигипербол, то есть имеют
геометрическое значение, и, следовательно, инвариантны относительно всех
преобразований копсевдоевклидовой плоскости.
Итак, инвариантными относительно фундаментальной группы Q
аналитическими характеристиками типов овальных линий являются:
1)
знаки чисел ∆
1
, ∆
2
(сами числа не сохраняются в преобразованиях);
2)
равенство (или неравенство) нулю координаты а
33
в общем
уравнении квадрики (в случае неравенства нулю численное значение
координаты может меняться);
3)
одновременное выполнение условий (13).

Страницы