Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

204
Если квадрика касается хотя бы одной прямой абсолюта, то хотя бы
одно из чисел ∆
1
, ∆
2
равно нулю. Равенство нулю одного из этих чисел, дает
одно условие зависимости для координат квадрики, следовательно,
количество независимых коэффициентов уравнения (1) сокращается на
единицу. Поэтому квадрики, касающиеся абсолюта, не имеют инварианта
копсевдоевклидовых преобразований.
Если квадрика проходит через общую точку прямых абсолюта, то для ее
общего уравнения справедливо условие (8), то есть число
независимых
коэффициентов в уравнении (1) равно четырем. И так как это число
совпадает с подвижностью плоскости, указанная квадрика также не имеет
инварианта фундаментальной группы преобразований.
Таким образом, каждые две линии одного типа, для которых а
33
∆
1
∆
2
= 0,
могут быть переведены одна в другую некоторым преобразованием группы
Q, то есть являются копсевдоевклидово эквивалентными. Согласно таблице 1
на копсевдоевклидовой плоскости существует пять типов овальных линий
(параболы, бипараболы, орипараболы, гиперболические параболы,
оригиперболы) таких, что любые две линии одного типа копсевдоевклидово
эквивалентны.
2. Аналитические условия принадлежности овальной линии одному из
оставшихся четырех типов не содержат равенств, поэтому не дают
возможности выразить одну из координат квадрики через другие, то есть не
дают возможности сократить число независимых коэффициентов общего
уравнения квадрики, следовательно, линии данных типов имеют один
инвариант относительно группы копсевдоевклидовых преобразований.
Определим инварианты овальных
линий следующих четырех типов:
эллипсов, гипербол, бигипербол и эквигипербол.
Пусть γ, линия одного из указанных типов, задана в каноническом
репере R уравнением (1). Проведем изотропные касательные k
1
(t
1
: –1: 0),
k
2
(t
2
: –1: 0), где t = λ : µ и λ
2
+µ
2
≠ 0, линии γ. Уравнение (10) определяет
отношение координат x
1
: x
3
точек касания, следовательно, его дискриминант
равен нулю:
()
()
,02
4
3311
2
13331223133322
2
23
2
=−+−+−= aaaaaaataaat
d
(14)
или в тангенциальных координатах:
.02
221211
2
=+− AtAAt
(15)
По формуле (44) главы 1 для изотропных прямых k
1
, k
2
:
()()
.
1
1
11
1
2
21
2
21
21
2
2
2
1
21
21
tttt
tt
tt
tt
kchk
+−+
−
=
−−
−
=
(16)

Страницы