Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

206
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
,0
,
,
333223113
323222112
313212111
fafafa
fafafa
fafafa
λ
λ
m
где λ – ненулевое число, определяют координаты (f
1
: f
2
: f
3
) полюсов
абсолютных прямых l
1
, l
2
относительно данной линии [2, стр. 60].
Определитель матрицы координат овальной линии отличен от нуля,
следовательно, отличен от нуля и определитель каждой из указанных систем.
Переходя к тангенциальным координатам квадрики и учитывая однородность
проективных координат точки, получаем координаты полюсов абсолютных
прямых l
2
, l
1
соответственно:
()
2313221212111,2
:: ААААААР
±
±
±
(21)
Точка Р
1
(Р
2
) является фокусом линии γ тогда и только тогда, когда эта
точка не принадлежит абсолюту, то есть когда координаты точки не
удовлетворяют ни одному из уравнений (2), (3). Данное требование
равносильно условиям:
(
)
.0,0,
2221112211
≠
∆
≠
≠
∆
≠
АААА
(22)
Координаты точек Р
1
, Р
2
(21) при условиях (22) удовлетворяют
неравенству (22) главы 1, следовательно, фокусы каждой овальной линии,
если они существуют, принадлежат одному абсолютному углу.
Фокус овальной линии будем называть внутренним (внешним), если он
является внутренней (внешней) точкой по отношению к линии.
Известно, что полюс некоторой прямой относительно овальной линии
является внутренней точкой по отношению к линии тогда
и только тогда,
когда прямая не имеет с линией действительных общих точек. Внешней
точкой по отношению к линии – тогда и только тогда, когда прямая
пересекает линию в двух действительных точках, и принадлежит линии тогда
и только тогда, когда прямая является касательной к линии [2, стр. 60].
Данные утверждения позволяют определить количество и
характер
расположения фокусов овальных линий каждого типа.
1.
Эллипс не содержит действительных точек прямых абсолюта,
следовательно, имеет два внутренних фокуса.
2.
Парабола касается одной из абсолютных прямых и не имеет общих
действительных точек с другой. Следовательно, единственный фокус
параболы – внутренний.
3.
Бипарабола касается обеих прямых абсолюта, следовательно,
фокусов не имеет.
4.
Орипарабола не имеет фокусов, так как оба полюса абсолютных
прямых относительно линии принадлежат касательной к орипараболе
абсолютной прямой.

Страницы