Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

207
5.
Гипербола копсевдоевклидовой плоскости пересекает одну прямую
абсолюта, полюс этой прямой относительно линии – внешняя точка. С
другой абсолютной прямой линия не имеет общих действительных точек, ее
полюс – внутренняя точка по отношению к линии.
Возможны два случая взаимного расположения указанных полюсов и
прямых абсолюта.
Если абсолютная прямая l
1
содержит полюс прямой l
2
, то прямая l
2
содержит полюс прямой l
1
, следовательно, оба полюса – несобственные
точки плоскости. В этом случае гипербола не имеет фокусов.
Гиперболу, не имеющую фокусов, назовем нефокальной гиперболой.
Если полюс прямой l
1
не принадлежит прямой l
2
, то оба полюса –
собственные точки плоскости. Гипербола имеет два фокуса: один –
внутренний, другой – внешний.
Гиперболу, обладающую двумя фокусами, будем называть фокальной
гиперболой.
6.
Гиперболическая парабола касается одной прямой абсолюта, ее
полюс принадлежит самой прямой, следовательно, является несобственной
точкой плоскости, и пересекает в двух действительных точках другую
абсолютную прямую, полюс которой – внешняя точка по отношению к
линии. Если эта точка принадлежит первой прямой абсолюта, то прямая,
будучи касательной к линии, должна пройти через одну из
точек
пересечения линии со второй прямой абсолюта. Это означает, что линия
должна содержать общую точку абсолютных прямых. Но для
гиперболических парабол это невозможно. Следовательно, гиперболическая
парабола имеет один внешний фокус.
7.
Оригипербола пересекает обе абсолютные прямые и проходит через
их общую точку Р. Полюсы абсолютных прямых относительно линии
принадлежат касательной к линии в точке Р, следовательно ни один из
полюсов не может принадлежать абсолютной прямой. Таким образом,
оригипербола имеет два внешних фокуса.
8.
Оба полюса абсолютных прямых относительно бигиперболы –
внешние по отношению к линии точки. Пусть Р
1
– полюс абсолютной прямой
l
1
, тогда Р
1
принадлежит касательным n
1
, n
2
к линии в точках N
1
, N
2
пересечения бигиперболы прямой l
1
.
Если абсолютная прямая l
2
проходит через точку Р
1
, то она, являясь
секущей для линии, принадлежит той части плоскости между прямыми n
1
, n
2
,
которая содержит линию. Следовательно, прямая l
2
пересекает хорду N
1
N
2
по
внутренней точке относительно линии. Значит общая точка прямых абсолюта
– внутренняя по отношению к линии, это противоречит определению
бигиперболы. Следовательно, полюс Р
1
– собственная точка плоскости.
Проводя аналогичные рассуждения для полюса прямой l
2
, приходим к
выводу, что бигипербола имеет два внешних фокуса.

Страницы