Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

209
Если F – фокус овальной линии, то F принадлежит полярной оси данной
линии.
Если линия γ задана уравнением (1), то ее полярная ось [2, стр. 60] имеет
уравнение
0
333223113
=
+
+
xaxaxа
. (23)
При выполнении условия (8) уравнение (23) определяет изотропную
прямую, причем, одно из равенств
а
23
= ± а
13
(24)
равносильно совпадению этой прямой с одной из прямых абсолюта, то есть
при условиях (8), (24) прямая (23) не является собственной для
копсевдоевклидовой плоскости.
Таким образом, полярные оси оригипербол – изотропные прямые, а
орипараболы, как линии касающиеся абсолюта в общей точке абсолютных
прямых, не имеют полярных осей. Общие уравнения орипарабол
удовлетворяют условиям (8), (24).
Собственную точку
S копсевдоевклидовой плоскости назовем центром
овальной линии, если модули расстояний от нее до точек пересечения линии с
любой проходящей через S неизотропной прямой равны.
Покажем, что понятия центр овальной линии и центр симметрии
овальной линии тождественны.
Пусть S – центр овальной линии γ, а l – произвольная прямая с
несобственными точками H
1
, H
2
, проходящая через S и пересекающая линию
γ в точках K
1
, K
2
. По определению центра линии: (SK
1
H
1
H
2
) = (K
2
S H
1
H
2
).
Согласно лемме 1 §4 главы 5 первой части пособия на прямой l найдется
точка S', гармонически разделяющая с точкой S пары точек H
1
, H
2
и K
1
, K
2
,
для которой выполняется равенство: (S'K
1
H
1
H
2
) = (K
2
S' H
1
H
2
).
По определению центральной симметрии (глава 3, §6, пункт 10) точки
K
1
, K
2
– симметричны относительно каждой из точек S, S'. В силу того, что
данные условия выполняются для любой прямой l, проходящей через S,
точка S является центром симметрии линии. Обратные рассуждения
справедливы в силу леммы 2 §4 главы 5 первой части пособия.
Овальную линию назовем центральной (бицентральной), если она имеет
один (два) центра. Овальные линии
, не имеющие (имеющие бесконечное
множество) центров, будем называть нецентральными (полицентральными).
В первой части пособия доказана теорема о центрах овальной линии
(теорема 1, §4, глава 5) коевклидовой плоскости. Доказательство теоремы
проведено и для случая действительных прямых абсолюта. Поэтому с учетом
введенного определения на копсевдоевклидовой плоскости имеет место
следующая теорема.
Теорема 1. Если точка S – центр овальной линии копсевдоевклидовой
плоскости, то S принадлежит полярной оси линии.

Страницы