Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 213 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

212
По формуле (7) найдем числа ∆
1
, ∆
2
линии γ:
∆
1
= ∆
2
=
(
)
1
22
−
αβ
. (30)
Если линия γ – эллипс, то согласно таблице 1 §1 справедливы
неравенства: ∆
1
> 0, ∆
2
> 0. Следовательно, для эллипса α > 1. Если линия γ –
бигипербола, то ∆
1
< 0, ∆
2
< 0. Следовательно, для бигиперболы α < 1.
Уравнение (28) при α > 1 назовем каноническим уравнением эллипса, при
α < 1 – каноническим уравнением бигиперболы.
Уравнение (29) при α > 1 (α < 1) назовем каноническим уравнением
эллипса (бигиперболы) в тангенциальных координатах.
2. Исследуем эллипс и бигиперболу по каноническому уравнению.
По формуле (18) выразим инвариант эллипса и бигиперболы через
коэффициенты канонического уравнения:
,
1
1
2
2
α
α
−
+
=∇
ЭЛ
(31)
.
1
1
2
2
−
+
=∇
α
α
Б
(32)
Единственный инвариантлинии (28) зависит только от коэффициента
α канонического уравнения линии, следовательно, само число α также
является инвариантом всех копсевдоевклидовых преобразований.
Назовем α главным параметром линии (эллипса, бигиперболы).
Согласно определениям центра линии (§2), середины и квазисередины
неизотропного отрезка (§6, гл. 1) и лемме 2 (§4, глава 5, часть I) центрами
линии γ являются середина и
квазисередина полярного диаметра K
1
K
2
линии,
и только эти точки. Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 2. Эллипс (бигипербола) является бицентральной линией.
Если α > 1 (α < 1), то концы полярного диаметра принадлежат первому
(второму) абсолютному углу. Следовательно, серединой отрезка K
1
K
2
является вершина А
1
(А
2
) координатного репера, квазисерединой – вершина
А
2
(А
1
). Центр А
1
– середина изотропного отрезка Т
1
Т
2
с действительными
концами, следовательно, А
1
– внутренняя точка относительно линии.
Длина t изотропного отрезка А
1
Т
1
, изотропный параметр
∗
линии γ, –
число действительное, так как по формуле (21) главы 2
t = |А
1
Т
1
| =
.
1
β
(33)
∗
Отметим, что в рассматриваемом случае изотропный параметр – число
действительное положительное. Если внутренний центр линии – точка второго
абсолютного угла, то соответствующий ему изотропный параметр линии – мнимое число.

Страницы