Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

218
Точки в парах А
1
, В
1
и А
2
, В
2
коллинеарны. Длины изотропных хорд А
1
В
1
и А
2
В
2
((21) глава 2) равны:
()
.
1:
:2
2
22
2211
−+
==
zy
zy
BABA
βα
(56)
Условие равенства длин указанных хорд числу
tq 22 =
, или с учетом
равенства (32) числу
β
:2
, дает два значения для отношения (y : z):
.
1
2
β
α
−
±=
z
y
(57)
Выражения (57) выделяют из множества всех прямых, заданных
уравнениями (54), прямые
,01:,01:
3
2
23
2
2
=−−=+−
βαβα
xxbxxа
(58)
высекающие на эллипсе (28) изотропные хорды длиной 2q.
Найдем расстояния от точки М (x
1
: x
2
: x
3
) эллипса до прямых (58):
() ()
.
1
,;
1
,
2
2
2
1
32
2
2
2
2
1
32
2
xx
xx
bM
xx
xx
aM
−
−−
=
−
+−
=
β
βα
ρ
β
βα
ρ
(59)
Подставим значение квадрата первой координаты точки М из уравнения
(28) в равенства (59). Непосредственная проверка доказывает, что для
координат точки М выполняется условие (49). Следовательно, каждая точка
М эллипса принадлежит множеству Ŋ.
Что и требовалось доказать.
Доказана теорема.
Теорема 4. Множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости,
сумма квадратов расстояний от которых до двух данных непараллельных
прямых есть постоянная величина, является эллипсом.
Прямые а и b, участвующие в определении множества Ŋ, назовем
директрисами эллипса.
По построению биссектриса угла ab является полярной осью эллипса,
следовательно, директрисы эллипса гармонически разделяют полярную ось и
изотропный
диаметр эллипса.
В §3 определены действительные оси эллипса d
1
, d
2
, заданные в
присоединенном каноническом репере уравнениями (43). Для четверки
прямых а, b, d
1
, d
2
пучка с центром в точке А
1
выполняется равенство:
(аb d
1
d
2
) = –1. Следовательно, директрисы эллипса гармонически сопряжены
относительно его действительных осей.

Страницы