Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

219
2. Пусть заданы две мнимо сопряженные прямые h
1
и h
2
, общая точка
которых принадлежит второму (первому) абсолютному углу, и
действительное положительное (мнимое) число p.
Докажем, что множество Ŋ всех точек копсевдоевклидовой плоскости,
для каждой из которых произведение расстояний до прямых h
1
, h
2
есть
постоянная величина p
2
, является эллипсом с мнимыми осями h
1
, h
2
и
фокальным параметром p.
1. Пусть прямые h
1
, h
2
пересекаются во втором абсолютном углу, а число
p – вещественное положительное. Канонический репер выберем таким
образом, чтобы в нем мнимо сопряженные прямые h
1
, h
2
были заданы
уравнениями (44), где α > 1, β > 0. Найдем расстояния от произвольной точки
М (x
1
: x
2
: x
3
) плоскости до этих прямых:
() ()
.
1
,;
1
,
2
2
2
1
31
2
2
2
2
2
1
31
2
1
xx
xx
hM
xx
xx
hM
−
+−
=
−
−−
=
β
βα
ρ
β
βα
ρ
(60)
Условие
()
(
)
2
21
,, phMhM =
ρρ
(61)
в координатах имеет вид
()
()
.
1
2
2
2
2
1
2
2
3
22
1
2
p
xx
xx
=
−
−−
β
βα
(62)
Так как α > 1, то для любых чисел x
1
, x
3
выполняется неравенство:
(
)
01
2
3
22
1
2
<−− xx
βα
. Поэтому уравнение (62) при
2
2
2
β
α
=p
принимает вид
(28). Согласно рассуждениям §3 прямые h
1
, h
2
являются мнимыми осями
эллипса, заданного уравнением (28) при α > 1.
Таким образом, если точка М принадлежит множеству Ŋ, то она
принадлежит эллипсу с мнимыми осями h
1
, h
2
и фокальным параметром p.
2. С другой стороны. Пусть эллипс задан каноническим уравнением (28)
при α > 1. Тогда каждая точка эллипса принадлежит первому абсолютному
углу, то есть для ее координат (x
1
: x
2
: x
3
) ((4), гл. 1) выполняется неравенство
.0
2
2
2
1
>− xx
(63)
Расстояния от произвольной точки М (x
1
: x
2
: x
3
) эллипса до его мнимых
осей, мнимо сопряженных прямых h
1
, h
2
(44), соответственно равны:
() ()
.
1
,;
1
,
2
2
2
1
31
2
2
2
2
2
1
31
2
1
xx
xx
hM
xx
xx
hM
−
+−
=
−
−−
=
β
βα
ρ
β
βα
ρ
(64)

Страницы