Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

221
идеальные точки бигиперболы (28) (α < 1). Докажем метрические свойства
бигиперболы, которые могут быть использованы в ее определении.
Теорема 6. Произведение расстояний от произвольной точки М
бигиперболы до ее действительных осей есть постоянная величина, равная
квадрату изотропного параметра бигиперболы, взятому со знаком «плюс»,
если точка М и действительный центр линии принадлежат одному
абсолютному углу, и со знаком «минус», если точка М и действительный
центр линии принадлежат различным абсолютным углам.
Доказательство.
Пусть бигипербола задана в некотором каноническом
репере R уравнением (28) при α < 1, а М (x
1
: x
2
: x
3
) – ее произвольная точка.
Действительные оси бигиперболы, прямые d
1
, d
2
(43), пересекаются в
точке первого абсолютного угла. По формуле (20) главы 2
() ()
.
1
,;
1
,
2
2
2
1
32
2
2
2
2
2
1
32
2
1
xx
xx
dM
xx
xx
dM
−
+−
=
−
−−
=
β
βα
ρ
β
βα
ρ
(68)
Следовательно,
()()
()
()
.
1
11
,,
2
2
2
1
2
2
3
22
2
2
2
2
2
1
32
2
2
2
2
1
32
2
21
xx
xx
xx
xx
xx
xx
dMdM
−
−−
=
−
+−
−
−−
=
β
βα
β
βα
β
βα
ρρ
При подстановке в последнее равенство значения квадрата координаты
x
1
из уравнения (28) получаем
()()
(
)
()()
.
1
1
,,
2
3
22
2
22
2
3
22
2
2
21
xx
xx
dMdM
βαβ
βα
ρρ
+−
+−
=
(69)
Возможны два случая.
1. Точка М принадлежит первому абсолютному углу. Тогда для ее
координат ((4), гл. 1) выполняется неравенство
.0
2
2
2
1
>− xx
(70)
Из условий (28), (70) следует неравенство
,0
2
3
22
2
2
2
2
>+− xxx
βα
(71)
при котором выражение (69) принимает вид:
()()
,
1
,,
2
2
21
tdMdM ==
β
ρρ
(72)
где t – изотропный параметр линии.

Страницы