Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 223 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

222
2. Точка М принадлежит второму абсолютному углу. Координаты точки
М удовлетворяют неравенству:
,0
2
2
2
1
<− xx
(73)
которое при условии (28) приводит к неравенству:
.0
2
3
22
2
2
2
2
<+− xxx
βα
(74)
Выражение (69) в этом случае имеет вид:
()()
.
1
,,
2
2
21
tdMdM −=−=
β
ρρ
(75)
Что и требовалось доказать.
Теорема 7. Произведение расстояний от произвольной точки М
бигиперболы до ее мнимых осей есть постоянная величина, равная квадрату
фокального параметра бигиперболы, взятому со знаком «плюс», если точка
М и мнимый центр линии принадлежат одному абсолютному углу, и со
знаком «минус», если точка М и мнимый центр линии принадлежат
различным абсолютным углам.
Доказательство.
Пусть М (x
1
: x
2
: x
3
) – произвольная точка бигиперболы
(28) (α < 1). Мнимые оси бигиперболы h
1
, h
2
(44), пересекаются в точке А
2
второго абсолютного угла. Расстояния от точки М до прямых h
1
, h
2
равны:
() ()
.
1
,;
1
,
2
2
2
1
31
2
2
2
2
2
1
31
2
1
xx
xx
hM
xx
xx
hM
−
+−
=
−
−−
=
β
βα
ρ
β
βα
ρ
(76)
Следовательно,
()()
(
)
()
.
1
11
,,
2
2
2
1
2
2
3
22
1
2
2
2
2
1
31
2
2
2
2
1
31
2
21
xx
xx
xx
xx
xx
xx
hMhM
−
−−
=
−
+−
−
−−
=
β
βα
β
βα
β
βα
ρρ
Координаты точки М удовлетворяют уравнению (28), поэтому
()()
(
)
()()
.
1
1
,,
2
3
22
2
22
2
3
22
2
22
21
xx
xx
dMdM
βαβ
βαα
ρρ
+−
+−
=
(77)
1. Если точка М бигиперболы принадлежит первому абсолютному углу,
то для ее координат выполняются неравенства (70), (71). Равенство (77) в
этом случае имеет вид:

Страницы