Составители:
Рубрика:
239
После чего уравнение (1) принимает вид:
.0
2
3
22
2
2
1
=−− xxx
α
(142)
Уравнение (142) назовем каноническим уравнением бипараболы.
В тангенциальных координатах каноническое уравнение бипараболы
имеет вид:
.0
2
3
2
2
22
1
2
=−− XXX
αα
(143)
Присоединенный канонический репер линии построен с точностью до
порядка следования точек Е
13
(1:0:1), Е'
13
(1:0:–1) изотропной прямой А
1
А
3
.
2. Матрица симметрии относительно полярной оси р (x
3
= 0) бипараболы
γ в присоединенном репере R имеет вид (34). Каждая точка М (x
1
: x
2
: x
3
)
бипараболы (142) при симметрии (34) переходит в точку М' (x
1
: x
2
: –x
3
), также
принадлежащую бипараболе. Следовательно, бипарабола симметрична
относительно своей полярной оси.
Если S – центр бипараболы, то по теореме 1 S принадлежит полярной
оси линии. Поэтому в репере R точку S можно задать координатами: S (s:1:0).
Определим значение s, учитывая, что точка S – центр симметрии линии.
Матрица симметрии относительно точки S ((95), глава 4) имеет
вид:
()
.
100
012
021
2
2
2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+−
+−
=
s
ss
ss
Z
s
(144)
Преобразуем линию γ (142) по закону (144) в линию γ'. В координатах
(x'
1
: x'
2
: x'
3
) линия γ' задана уравнением:
(
)
(
)
.01
2
3
22
2
2
1
2
=
′
−
′
−
′
− xxxs
α
(145)
Так как S – центр симметрии линии γ, то в преобразовании (144)
бипарабола (142) переходит в себя. Очевидно, линии γ и γ' совпадают при
любом значении s, отличном от ± 1. Следовательно, бипарабола имеет
бесконечное множество центров. При s = ± 1 точка S совпадает с одной из
идеальных точек Н
1
(1:1:0), Н
2
(–1:1:0) бипараболы и согласно определению не
является центром линии. Доказана теорема.
Теорема 14. Центром бипараболы является каждая собственная точка ее
полярной оси.
3. Пусть изотропная прямая l, заданная в репере R уравнением:
,:
21
txxl
=
(146)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- …
- следующая ›
- последняя »
