Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 242 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

241
Доказана теорема, которая дает возможность определить бипараболу
метрически.
Теорема 15. Множество Ŋ всех точек первого абсолютного угла
копсевдоевклидовой плоскости, расстояния от которых до данной
неизотропной прямой р есть постоянная положительная величина h, является
бипараболой с высотой h и полярной осью р.
Данным метрическим свойством обладает эквидистанта плоскости
Лобачевского, поэтому бипараболу копсевдоевклидовой плоскости можно по
аналогии называть эквидистантой, а ее полярную
ось – базой
эквидистанты. В литературе (см., например, [2, стр. 271]) эквидистанту
часто определяют как множество точек некоторой полуплоскости
относительно базы эквидистанты, удаленных от базы на расстояние h, то есть
эквидистантой называют только одну из двух связных ветвей
соответствующей овальной линии.
Следствием теоремы 15 и теоремы 5 главы 2 является следующая
теорема.
Теорема 16. Множество Ŋ точек первого абсолютного угла пересечения
всевозможных прямых а и b, параллельных данной неизотропной прямой р,
произведение расстояний от которых до прямой р есть постоянная величина
h
2
, является бипараболой с высотой h и полярной осью р.
Из теоремы 16 и теоремы 7 главы 2 получаем еще одно метрическое
определение бипараболы.
Теорема 17. Множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости
попарного пересечения прямых, образующих угол заданной величины и
параллельных данной неизотропной прямой, является бипараболой.
4. Определим бипараболу как огибающую некоторой совокупности
прямых.
Теорема 18. Огибающая совокупности всех прямых копсевдо-
евклидовой плоскости, образующих угол заданной величины с данной
прямой является бипараболой.
Доказательство.
I. Пусть данная прямая h является координатной
прямой А
1
А
2
некоторого канонического репера, а прямая x (X
1
: X
2
: X
3
)
копсевдоевклидовой плоскости образует с прямой h угол величиной
α
:1=h
. Тогда координаты прямой x удовлетворяют уравнению:
,
1
2
3
2
2
3
1
α
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
X
X
X
X
(151)
которое после соответствующих преобразований принимает вид (143), то
есть задает бипараболу в тангенциальных координатах.
II. Обратно. Если прямая x (X
1
: X
2
: X
3
) копсевдоевклидовой плоскости
является касательной к бипараболе (143), то имеет место равенство:

Страницы