Составители:
Рубрика:
246
Условимся, что гипербола пересекает первую абсолютную прямую в
действительных точках, а вторую – в мнимо сопряженных. Тогда
коэффициенты уравнения (165) удовлетворяют неравенствам:
β > 0, |α| < 1. (167)
Уравнение (165) при условиях (167) назовем каноническим уравнением
гиперболы. В тангенциальных координатах при условиях (167) каноническое
уравнение гиперболы имеет вид:
.044
2
321
2
2
=−+ XXXX
βαβ
(168)
2. Матрица симметрии относительно полярной оси гиперболы (165),
(167) имеет вид (34). Очевидно, в преобразовании (34) линия γ переходит в
себя. Следовательно, гипербола симметрична относительно своей полярной
оси. В силу того, что симметрия – преобразование первого вида, каждый
абсолютный угол содержит одну связную ветвь гиперболы, симметричную
относительно полярной оси линии.
Предположим, что S – центр гиперболы (165), (167). Учитывая
, что
центр линии принадлежит ее полярной оси (теорема 1), координаты точки S в
репере R примем в виде: S (1: s : 0). Тогда матрица симметрии относительно
точки S ((95), глава 4) имеет вид:
()
.
100
012
021
2
2
2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+−
+−
=
s
ss
ss
Z
s
(169)
Найдем образ γ' линии γ при симметрии, заданной матрицей (169):
()
(
)
(
)
(
)
(
)
()()
()
()
.011144
124121
2
22
3
2
222
21
222
2
2
2
22
1
=−
′
++++−
′′
+
++−
′
++−+
′
sxssssxx
sssxsssx
βα
αα
(170)
Нас интересуют значения s, при которых линия γ' (170) совпадает с
линией γ (165), (167). Приравнивая соответствующие координаты указанных
квадрик, учитывая их однородность, получаем систему уравнений
относительно s:
()()
(
)
(
)
(
)
()
()()
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=+++−−
=+−
+++−−=+−+
.sssss
,sss
,sssssss
2
2
2
222
22
2
2222
2
2
11144
0124
1144121
α
α
ααα
(171)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- …
- следующая ›
- последняя »
