Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

250
прямую K
1
K
2
, имеют вид: М' (x
1
: x
2
: 0). Если точка M принадлежит множеству
W, то точка М' принадлежит квазиотрезку K
1
Н
1
K
2
, следовательно,
выполняется условие:
()
,0
211
>
′
KKHM
(189)
которое в координатах имеет вид:
()
(
)
,01
211
>
−
−
xxx
α
α
(190)
или с учетом неравенства (186) вид:
(
)
.0
211
<
−
xxx
α
(191)
Уравнение (188) при условии (191) принимает вид (165), где
.0
1
1
2
>
−
=
αλ
β
(192)
Таким образом, все точки множества W, удовлетворяющие условию
(185), принадлежат гиперболе с полярным диаметром K
1
K
2
, содержащим
действительную точку первой абсолютной прямой.
II. Обратно. Если точка М (x
1
: x
2
: x
3
) принадлежит гиперболе (165), (167)
с полярным диаметром K
1
K
2
, то для ее координат выполняется неравенство
(191). Следовательно, проекция точки М на полярную ось линии, точка М'
(x
1
: x
2
: 0) удовлетворяет условию (189), то есть принадлежит квазиотрезку
K
1
Н
1
K
2
, где Н
1
– точка первой абсолютной прямой.
Сама точка М в этом
случае принадлежит множеству W.
Покажем, что для точки М выполняется неравенство (185).
Прямые MK
1
, MK
2
в присоединенном репере R гиперболы имеют
уравнения (187), поэтому
()()
.
1
1
1
,,
21
2
1
2
2
3
21
3
2
1
3
1221
xxx
x
xx
x
x
x
MKKМKK
−−
=
=
−−
−
=
αα
α
α
ρρ
(193)
С учетом условий (165), (167), (191) при замене (192) получаем
равенство (185). Следовательно, каждая точка гиперболы (165), (167)
принадлежит совокупности Ŋ.
Что и требовалось доказать.

Страницы