Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 254 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

253
Собственную для плоскости прямую d, соединяющую идеальные точки
линии γ, назовем базой оригиперболы γ. В репере R база оригиперболы (199)
содержит собственные вершины репера и имеет уравнение:
.0:
321
=
=
xHHd
(202)
База оригиперболы не имеет с линией собственных для плоскости
общих точек, следовательно, при данном выборе репера первый абсолютный
угол содержит две связные ветви оригиперболы, второй – одну. Все точки
оригиперболы, расположенные во втором абсолютном углу, принадлежат
одному квадранту относительно базы линии. Покажем, что ветви
оригиперболы, принадлежащие первому абсолютному углу, расположены
в
различных квадрантах относительно базы оригиперболы.
Пусть прямая, проходящая через первую вершину А
1
репера, пересекает
оригиперболу (199) в точках А, B первого абсолютного угла. Тогда для
координат (а
1
: а
2
: а
3
), (b
1
: b
2
: b
3
) этих точек справедливы условия:
.02,02
,0,0,
32
2
2
2
132
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
12332
=+−=+−
>−>−=
bbbbaaaa
bbaababa
αα
Следовательно, в репере R данные точки можно задать координатами:
А(а
1
: а
2
: а
3
), B(– а
1
: а
2
: а
3
). Неравенство (30) главы 1 для точек А, В и прямой
d не выполняется, следовательно, эти точки принадлежат различным
квадрантам относительно прямой d. Утверждение доказано.
Изотропная асимптота оригиперболы (199) совпадает с ее полярной
осью и имеет в присоединенном репере уравнение (194).
Неизотропные асимптоты оригиперболы заданы уравнениями:
.0:
,0:
321222
321111
=−+=
=+−=
xxxFHh
xxxFHh
α
α
(203)
Точку Н пересечения неизотропных асимптот линии γ назовем
ортоцентром оригиперболы γ.
Имеет место теорема.
Теорема 23. Концы каждой проходящей через ортоцентр оригиперболы
хорды ортогональны и гармонически разделяют ортоцентр и общую точку
данной хорды и базы оригиперболы.
Доказательство. В присоединенном каноническом репере R ортоцентр
оригиперболы (199) имеет координаты: Н (0: α: 1). Любую прямую l,
проходящую через точку H (рис. 57), в репере R можно задать уравнением:
,:
231
txtxxl
−
=
α
(204)
где t – параметр прямой l.

Страницы