Составители:
Рубрика:
257
С другой стороны. Пусть заданы положительное число λ и
непараллельные прямые а, b, пересекающиеся, например, в первом
абсолютном углу. Обозначим через φ меру угла между прямыми а и b.
Докажем, что все точки плоскости, разность квадратов расстояний от
которых до прямых а и b есть постоянная величина λ, принадлежат
оригиперболе
. Причем база оригиперболы является биссектрисой угла ab,
главный параметр равен отношению (λ : φ), а центральная ось и прямая а не
разделяют базу и полярную ось.
Первую координатную вершину канонического репера R поместим в
точку пересечения данных прямых а и b, а вторую – на биссектрису d угла
между этими прямыми. Тогда
данные прямые в репере R можно задать
уравнениями (215), где u – некоторое положительное число.
Для произвольной точки М (x
1
: x
2
: x
3
) копсевдоевклидовой плоскости
расстояния до прямых а и b определены равенствами (219). Поэтому
согласно условию:
()
(
)
λρρ
=− bMaM ,,
22
(221)
получаем
,
4
2
2
2
1
32
λ
=
−
−
xx
xux
(222)
или
.04
32
2
2
2
1
=+− xx
u
xx
λ
(223)
Уравнение (223) при 2
λ
u
= α совпадает с уравнением (199) и определяет
оригиперболу с главным параметром (λ : φ) и базой d. Для оригиперболы
(199) выполнение условия (ah dp) > 0, где h – центральная, а p – полярная ось
линии, доказано. Таким образом, доказана теорема.
Теорема 26. Множество Ŋ всех точек плоскости, разность квадратов
расстояний от которых до данных прямых а и b, образующих угол мерой φ,
есть постоянная положительная величина λ, является оригиперболой с
главным параметром (λ : φ), база которой совпадает с биссектрисой угла ab, а
центральная ось и прямая а не разделяют базу и полярную
ось.
5.13 Эквигипербола
1. Пусть эквигипербола γ копсевдоевклидовой плоскости (рис. 58, 59)
задана в каноническом репере R общим уравнением (1), где а
33
≠ 0.
Присоединим репер R к линии γ следующим образом.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 256
- 257
- 258
- 259
- 260
- …
- следующая ›
- последняя »
