Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 264 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

263
Фокусам F
1
, F
2
эквигиперболы (230) соответствуют асимптоты
эквигиперболы, касательные к линии в идеальных точках
2
2
1
2
2
1
1
1
,,, ТТТТ
соответственно:
,01:
,01:
3
2
2
2
1
2
11
2
1
3
2
2
2
1
1
11
1
1
=+++=
=+−+=
xxxTFh
xxxTFh
αβα
αβα
(249)
.01:
,01:
3
2
2
2
1
2
22
2
2
3
2
2
2
1
1
22
1
2
=++−=
=+−−=
xxxTFh
xxxTFh
αβα
αβα
(250)
Асимптоты нефокальной эквигиперболы (235) проходят через
несобственные точки Р
1
, Р
2
ее полярной оси и имеют уравнения:
,02:
,02:
321
2
11
2
1
321
1
11
1
1
=++=
=−+=
xxxTРh
xxxTРh
β
β
.02:
,02:
321
2
22
2
2
321
1
22
1
2
=+−=
=−−=
xxxTРh
xxxTРh
β
β
(251)
4. В данном пункте докажем метрическое свойство эквигипербол. Все
рассуждения проведем для фокальной эквигиперболы, пользуясь ее
каноническим уравнением (230). Аналогичное доказательство метрического
свойства нефокальной эквигиперболы можно получить, полагая в
соответствующих выражениях α = 1.
Теорема 29. Произведение расстояний от произвольной точки М
эквигиперболы до ее действительных (мнимых) осей есть постоянная
величина, равная квадрату действительной (мнимой) полуоси линии, взятому
со знаком «плюс», если точка М и действительный (мнимый) центр линии
принадлежат одному абсолютному углу, и со знаком «минус» в противном
случае.
Доказательство. Пусть эквигипербола γ задана в
каноническом репере R
уравнением (230) при α
1, число а (b) – действительная (мнимая) полуось
(240) эквигиперболы, а М (x
1
: x
2
: x
3
) – произвольная точка линии.
Действительные (мнимые) оси эквигиперболы, прямые в парах (238)
((239)), пересекаются в точке первого (второго) абсолютного угла. По
формуле (20) главы 2
() ()
2
2
2
1
32
2
2
1
2
2
2
1
32
2
1
1
1
,,
1
,
xx
xx
dM
xx
xx
dM
−
++
=
−
−+
=
β
βα
ρ
β
βα
ρ
(252)

Страницы