Составители:
Рубрика:
272
5. Аксиомы скалярного произведения ковекторов
5.1 Для любых двух ковекторов А и В:
АВ = ВА.
5.2 Для любых ковекторов А, В и любого действительного числа
α
:
(αА) В = α (АВ).
5.3 Для любых трёх ковекторов А, В и С:
(А + В) C = АС + ВС.
Число AA назовем скалярным квадратом ковектора A, и обозначим А
2
.
5.4 Скалярный квадрат любого ковектора неотрицателен. Скалярный
квадрат ковектора равен нулю тогда и только тогда, когда ковектор является
нулевым.
Приведенные аксиомы групп 1-5 образуют систему аксиом Вейля
(векторную аксиоматику) коевклидовой плоскости, обозначим ее ℑ
1
. Все 16
аксиом системы ℑ
1
являются доказуемыми при построении коевклидовой
геометрии на основе геометрии проективной (гл. 2, часть 1).
Отметим, что система аксиом ℑ
1
определяет и геометрию евклидовой
плоскости, где в качестве основных объектов приняты вектор и точка.
Следовательно, геометрию коевклидовой плоскости можно получить из
геометрии евклидовой плоскости [2, стр. 288] формальной заменой терминов
«вектор» – «ковектор», «точка» – «прямая», что согласуется с соответствием
данных геометрий по принципу двойственности проективной плоскости.
II. Заменим в системе аксиом ℑ
1
коевклидовой плоскости аксиому 5.4
аксиомой 5.4
∗
:
5.4
∗
. Существуют по крайней мере два ненулевых ковектора А и В таких,
что скалярный квадрат ковектора А больше нуля, а скалярный квадрат
ковектора В меньше нуля.
Полученную систему аксиом обозначим ℑ
2
.
Система аксиом ℑ
2
определяет геометрию копсевдоевклидовой (и псевдоевклидовой) плоскости.
Векторное изложение псевдоевклидовой геометрии дано в пособии [7].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 271
- 272
- 273
- 274
- 275
- …
- следующая ›
- последняя »
