Составители:
Рубрика:
27
абсолютную прямую, например, прямую l
1
, в мнимых точках A
0
, B
0
, C
0
соответственно (рис. 5).
Сложное отношение четырёх точек (A
0
B
0
C
0
P) инвариантно относительно
всех линейных преобразований коевклидовой плоскости K
2
(всех
преобразований группы G).
Выразим модуль комплексного числа (A
0
B
0
C
0
P) через однородные
координаты прямых a, b, c, заданные в некотором каноническом репере R:
a(a
i
), b(b
i
), c(c
i
), i = 1, 2, 3. Точки A
0
, B
0
, C
0
в репере R имеют координаты:
A
0
(–ia
3
: –a
3
: a
2
+ ia
1
), B
0
(–ib
3
: –b
3
: b
2
+ ib
1
), C
0
(–ic
3
: –c
3
: c
2
+ ic
1
). Поэтому
()
()()
()()
.
10
10
133123323
133123323
123
123
123
123
123
123
000
cbcbicbcba
cacaicacab
iccc
ibbb
iaaa
ibbb
iccc
iaaa
PCBA
−+−
−+−
=
+−
+−
+−
+−
+−
+−
=
Модуль числа (A
0
B
0
C
0
P) равен:
()
()( )
()
()( )
()
.
2
2332
2
1331
2
3
2
2332
2
1331
2
3
000
cbcbcbcba
cacacacab
PCBAJ
−+−
−+−
==
И окончательно
.
2
3
2
3
2
2
3
1
3
1
2
3
2
3
2
2
3
1
3
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
c
c
a
a
c
c
a
a
c
c
b
b
c
c
b
b
J
(30)
Вид формулы (30), очевидно, зависит от координат точек A
0
, B
0
, C
0
,
следовательно, зависит от вида уравнений (1) абсолютных прямых. Поэтому
формула (30) имеет место только в канонических реперах коевклидовой
плоскости.
Каков геометрический смысл инварианта J?
Ответ на этот вопрос найдем в следующей главе. Но прежде предлагаем
читателю самостоятельно определить геометрический смысл инварианта
трех попарно непараллельных прямых, не проходящих через одну точку, на
евклидовой
плоскости. То есть определить числовую характеристику
треугольника евклидовой плоскости, неизменную при всех евклидовых
линейных преобразованиях.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
