Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

30
Изотропную прямую, содержащую вершины представителей ковектора,
назовем направляющей данного ковектора.
Ковекторы, представленные коллинеарными дублетами, будем называть
коллинеарными. Нулевой ковектор будем считать коллинеарным любому
ковектору.
Два ковектора будем называть равными, если представители этих
ковекторов эквиполлентны.
2.2 Координаты ковектора
1. Выберем некоторый канонический репер R коевклидовой плоскости.
Абсолютная квадрика
Э
П
A
в репере R имеет (§1, гл. 1) уравнение
.0
2
2
2
1
=
+
xх
(3)
Пусть стороны a, b дублета
____
ab в репере R заданы соответственно
уравнениями:
0
332211
=
++ xaxaxa
и
0
332211
=
+
+
xbxbxb
, (4)
где а
3
≠ 0, b
3
≠ 0, так как прямые а и b – неизотропные.
Числа
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
3
1
3
1
a
a
b
b
и
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
3
2
3
2
a
a
b
b
назовём соответственно первой и второй
координатами дублета
_____
ab в репере R. Будем записывать:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
3
2
3
2
3
1
3
1
_____
;
a
a
b
b
a
a
b
b
ab
. (5)
Нулевой дублет, очевидно, имеет нулевые координаты.
Итак, каждому дублету коевклидовой плоскости
Э
П
APК \
22
=
поставили
в соответствие упорядоченную пару чисел.
Докажем две теоремы.
Теорема 1. Дублеты коллинеарны тогда и только тогда, когда их
координаты в одном и том же репере пропорциональны.
Доказательство. Пусть стороны дублетов
_____
ab и
_____
cd в репере R имеют
координаты а(a
i
), b(b
i
), c(c
i
), d(d
i
), i = 1, 2, 3. Так как a, b, c, d – неизотропные
прямые, числа a
3
, b
3
, c
3
, d
3
– ненулевые. Вершины K и H данных дублетов в
репере R имеют соответственно координаты:
()
122131132332
:: babababababaK −
−
−
,
(
)
122131132332
:: dcdcdcdcdcdcH −
−
−
. (6)
I. Если данные дублеты коллинеарны, то прямая KH содержит
абсолютную точку P (0:0:1), то есть выполняется равенство

Страницы