Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

32
Складывая равенства (11), (12) и группируя слагаемые левой части,
получим
.0
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
c
c
d
d
a
a
b
b
d
d
a
a
c
c
d
d
a
a
b
b
a
a
d
d
(13)
Вычтем равенство (12) из равенства (11). После соответствующей
группировки слагаемых имеем условие:
.0
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
c
c
d
d
a
a
b
b
c
c
b
b
c
c
d
d
a
a
b
b
b
b
c
с
(14)
Систему условий (13), (14) можно рассматривать как систему линейных
однородных уравнений относительно переменных
.2,1,
3333
=+−−= j
c
c
d
d
a
a
b
b
x
jjjj
j
Предположим, что определитель этой системы равен нулю, то есть
справедливо равенство отношений
.
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
a
a
d
d
a
a
d
d
b
b
c
c
b
b
c
c
−
−
=
−
−
(15)
По теореме 1 условие (15) означает коллинеарность дублетов
____
bc
и
____
ad
.
Покажем, что последнее невозможно.
Пусть Q и Т – точки пересечения
прямых b, c и a, d соответственно (рис.
7), тогда в силу условий
________
|| cdab
и
_
__
_
____
|| bdac
точки P, Q, Т являются
диагональными для полного
четырёхвершинника [2, стр. 42]:
(
)
(
)
(
)( )
dbcadcba IIII
.
Следовательно, эти точки не лежат
на одной прямой, то есть дублеты
____
bc
и
_
__
_
ad
не коллинеарны.
P
Т
Q
a
b
c
d
Рис. 7

Страницы