Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

38
Пусть
V = αA, если
0≥
α
, то ковекторы А и V назовём сонаправленными,
если α < 0, – противоположно направленными. При α = –1 ковектор
V
является противоположным ковектору
А.
Применяя координаты ковекторов, можно доказать свойства операции
умножения ковектора на число.
Для любых ковекторов
А, В и любых действительных чисел α, β имеют
место равенства:
II
1
.
α
(
β
А) = (
αβ
) А.
II
2
.
()
β
α
+ А =
α
А +
β
А.
II
3
.
α
(А + В) =
α
А+
α
В.
II
4
. 1А = А.
2.5 Ковекторное пространство
Операции сложения ковекторов и умножения ковекторов на
действительные числа обладают свойствами I
1
– I
4
, II
1
– II
4
, следовательно,
множество Ψ всех ковекторов коевклидовой плоскости является векторным
пространством над полем действительных чисел [2, стр. 245], [12, стр. 110],
элементы которого – ковекторы коевклидовой плоскости.
Множество Ψ назовем ковекторным пространством.
Пусть
А
1
, А
2
, …, А
n
– некоторые ковекторы из Ψ, а α
1
, α
2
, …, α
n
–
действительные числа. Линейной комбинацией ковекторов
А
1
, А
2
, …, А
n
с
коэффициентами α
1
, α
2
, …, α
n
назовем выражение
....
2211 nn
AАА
α
α
α
+
+
+
(24)
Линейную комбинацию ковекторов (24) будем называть нетривиальной,
если хотя бы одно из чисел α
1
, α
2
, …, α
n
отлично от нуля, и тривиальной, если
все числа α
1
, α
2
, …, α
n
равны нулю.
Ковекторы
А
1
, А
2
, …, А
n
будем называть линейно зависимыми, если
существует их нетривиальная комбинация, являющаяся нулевым ковектором.
Если нулевому ковектору равна только тривиальная комбинация ковекторов
А
1
, А
2
, …, А
n
, то эти ковекторы назовем линейно независимыми.
Пусть в каноническом репере R коевклидовой плоскости заданы
ковекторы:
А
1
(1; 0) и А
2
(0; 1). Линейная комбинация этих ковекторов
2211
АА
α
α
+
имеет в репере R координаты (α
1
; α
2
) и равна нулевому ковектору тогда и
только тогда, когда числа α
1
, α
2
одновременно равны нулю. Следовательно,
ковекторы
А
1
, А
2
линейно независимы.
Если ковекторы
А и В линейно зависимы и ковектор В ненулевой, то,
очевидно, существует ненулевое число α такое, что
А = αВ. То есть по
утверждению 2 (п. 3, §4) ковекторы
А и В являются коллинеарными. И,
обратно, любые два коллинеарных ковектора линейно зависимы.

Страницы