Составители:
Рубрика:
39
Пусть теперь
А и В – некоторые неколлинеарные ковекторы из Ψ.
Покажем, что каждый ковектор
X из Ψ можно представить в виде линейной
комбинации ковекторов
А и В. Пусть в каноническом репере R ковекторы А,
В, X заданы координатами: А (a
1
; a
2
), В (b
1
; b
2
), X (x
1
; x
2
). Существуют числа
α и β такие, что
X.ВА
=
+
β
α
(25)
Действительно, равенство (25) в координатах имеет вид:
⎩
⎨
⎧
=+
=+
.
,
222
111
xba
xba
βα
βα
(26)
Так как ковекторы
А и В неколлинеарные, то их координаты
непропорциональны, поэтому
.0
22
11
≠
ba
ba
(27)
При условии (27) система уравнений (26) имеет единственное решение:
.,
22
11
22
11
22
11
22
11
ba
ba
xa
xa
ba
ba
bx
bx
==
βα
(28)
Таким образом, ковектор
X представим в виде линейной комбинации
ковекторов
А и В. Следовательно, ковекторы А, В, X линейно зависимы. В
равенстве (25) число α (β) равно нулю тогда и только тогда, когда ковектор
X
коллинеарен ковектору
В (А). Числа α и β одновременно равны нулю тогда и
только тогда, когда ковектор
X нулевой.
Итак, справедливы следующие утверждения.
III
1
. В ковекторном пространстве Ψ существует два линейно
независимых ковектора.
III
2
. Любые три ковектора пространства Ψ линейно зависимы.
Следовательно, ковекторное пространство Ψ является двумерным
векторным пространством.
Базисом пространства Ψ назовем любую упорядоченную линейно
независимую пару ковекторов.
Согласно предыдущим рассуждениям базис пространства Ψ существует,
и если
А
1
, А
2
– базис пространства Ψ, то для каждого ковектора X из Ψ
существует единственная пара чисел (v
1
; v
2
) таких, что:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
