Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

42
Расстояние между ортогональными ковекторами равно π/2. С
проективной точки зрения ортогональность ковекторов означает
гармоническую сопряженность направляющих данных ковекторов
относительно абсолютных прямых.
2.7 Ортонормированные базисы ковекторного пространства Ψ
Пусть R = {A
1
, А
2
, А
3
, Е} – произвольный репер коевклидовой плоскости,
третья вершина А
3
которого является общей точкой Р прямых абсолюта.
Дублеты со сторонами А
1
А
2
, А
2
Е и А
1
А
2
, А
1
Е назовем первым и вторым
координатными дублетами репера R соответственно.
Если R является каноническим репером, то в нем координаты
ковекторов
Е
1
и Е
2
, представленных соответственно первым и вторым
координатными дублетами репера R, имеют вид:
(
)
(
)
.1;0,0;1
21
EE
Ковекторы Е
1
и Е
2
линейно независимы, следовательно, образуют базис
пространства Ψ. По формулам (35), (34) находим:
.1,
2
2121
=== ЕЕЕЕ
π
Таким образом, канонические реперы коевклидовой плоскости являются
аналогами ортонормированных реперов плоскости евклидовой.
Базис
Е
1
, Е
2
пространства Ψ назовем ортонормированным, если
существует канонический репер R коевклидовой плоскости, координатные
дублеты которого представляют ковекторы
Е
1
, Е
2
.
Каждый канонический репер, координатные дублеты которого
представляют ковекторы
Е
1
, Е
2
базиса пространства Ψ, будем называть
присоединенным к базису
Е
1
, Е
2
.
Все канонические реперы, присоединенные к некоторому базису
пространства Ψ, очевидно, имеют общие изотропные координатные оси.
Докажем теорему.
Теорема 3. Базис Е
1
, Е
2
пространства Ψ является ортонормированным
тогда и только тогда, когда направляющие ковекторов
Е
1
, Е
2
ортогональны.
Доказательство.
I. Пусть Е
1
, Е
2
– ортонормированный базис
пространства Ψ. По определению существует канонический репер R,
координатные дублеты которого представляют ковекторы Е
1
, Е
2
.
Следовательно, направляющие ковекторов
Е
1
, Е
2
являются изотропными
координатными прямыми А
1
А
3
, А
2
А
3
репера R. По свойству канонического
репера эти прямые ортогональны.
II. Пусть направляющие ковекторов Е
1
, Е
2
базиса пространства Ψ
ортогональны. Покажем, что существует канонический репер R

Страницы