Составители:
Рубрика:
47
()()
()
.2
2
1
ln
2
1
ln
2
1
21
2121
kik
i
KAAK
i
KВАKKABK
i
aa
ππ
===
==
′
+
(45)
Полагая k = 1, выберем наименьшее значение суммы положительных
чисел |a|, |a' |. Тогда сумма длин смежных неизотропных направленных
отрезков равна π.
2.10 Расстояние от точки до неизотропной прямой. Направляющие
косинусы и высота точки в каноническом репере
На коевклидовой плоскости (как и на евклидовой) не существует
инварианта точки и неизотропной прямой. То есть не существует числовой
величины, соответствующей паре (точка, неизотропная прямая),
инвариантной относительно группы преобразований коевклидовой
плоскости.
Укажем способ, позволяющий единственным образом каждой паре
(точка, неизотропная прямая) поставить в соответствие действительное
число, инвариантное относительно некоторой подгруппы
группы
коевклидовых преобразований.
∗
Пусть даны точка A и неизотропная прямая m. Построим изотропную
прямую k, ортогональную изотропной прямой AP. Точку пересечения
прямых m и k обозначим K. Прямая AK, очевидно, неизотропная.
Расстоянием от точки A до неизотропной прямой m назовем меру угла
между прямыми m и AK. Обозначение: ρ(A, m) – расстояние от точки А до
прямой m.
Пусть точка A и прямая m заданы своими однородными координатами в
репере R: A(a
1
: a
2
: a
3
), m(m
1
: m
2
: m
3
). Тогда уравнение прямой AP имеет вид:
a
2
x
1
– a
1
x
2
= 0, а прямой k – вид: a
1
x
1
– a
2
x
2
= 0.
Следовательно, точка K и прямая AK имеют однородные координаты:
)::(
12211323
mamaamamK
−
−
,
))(::(
2
2
2
132
2
11213323311
2
2221
aammamaamaamaamamaaAK +−−++−
.
Найдем угол между прямыми m и AK:
2
1
2
2
2
2
13
3321212
2
1
2
3
1
2
2
2
13
3312211
2
2
)()(
)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−−
=∠
m
m
aam
maamaama
m
m
aam
maamaama
AKm
.
∗
Как и на евклидовой плоскости такой подгруппой является группа движений
коевклидовой плоскости, которая будет определена в следующей главе.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
