Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Ромакина Л.Н. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

50
Глава 3. Изображение коевклидовой плоскости
3.1 Введение коевклидовых координат
Заметим, что до настоящего момента мы пользовались проективными
координатами объектов коевклидовой плоскости. То есть коевклидову
плоскость рассматривали как проективную с некоторой фиксированной
фигурой, вырожденной квадрикой
Э
П
А
, не предполагая принципиальных
различий между координатами точек этой фигуры и точек, ей не
принадлежащих.
Теперь изменим позицию исследования, введем в рассмотрение
собственно коевклидовы координаты. Геометрически переход от
проективных координат к собственно коевклидовым означает удаление
абсолютной квадрики в бесконечность.
Все точки квадрики
Э
П
А
, заданной в некотором проективном репере R на
плоскости Р
2
уравнением
0
2
2
2
1
=+ xx
, (1)
и только эти точки будем считать бесконечно удаленными.
Пусть точка М проективной плоскости Р
2
задана в репере R
однородными координатами (x
1
: x
2
: x
3
). Необходимо найти такие функции x,
y, z от переменных x
1
, x
2
, x
3
:
x = x (x
1
, x
2
, x
3
), y = y (x
1
, x
2
, x
3
), z = z (x
1
, x
2
, x
3
),
которые бесконечно велики при условии (1) и принимают конечные значения
при условии
0
2
2
2
1
≠+ xx
. (2)
Проективные координаты точек пропорциональны, поэтому
отображение f:
);;();;(
321
zyxxxx a
должно быть, по возможности,
однородным нулевой степени. Это обеспечит отображение ненулевых
пропорциональных троек чисел (x
1
: x
2
: x
3
) и (λx
1
: λx
2
: λx
3
), задающих одну
точку на коевклидовой плоскости, в одну тройку чисел (x; y; z), что в
дальнейшем даст нам возможность построить изображение коевклидовой
плоскости в евклидовом трехмерном пространстве.
Потребуем также, чтобы отображение f было инъективным на множестве
всех непропорциональных ненулевых троек действительных чисел.
Несколько ослабим одно из требований и отображение f,
осуществляющее переход от проективных координат точек коевклидовой
плоскости к координатам коевклидовым, зададим формулами:

Страницы