Составители:
Рубрика:
56
Глава 4. Линейные преобразования коевклидовой
плоскости
4.1 Классификация линейных преобразований
Проведём классификацию преобразований фундаментальной группы
коевклидовой плоскости по наличию двойных элементов (точек и прямых).
Пусть M (x
1
: x
2
: x
3
) – двойная точка некоторого преобразования Н группы
G ((3), гл. 1) коевклидовых преобразований, заданной матрицей:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
333231
1112
1211
0
0
aaa
aa
aa
εε
, (1)
где 1±=
ε
. Тогда её проективные координаты, неравные нулю одновременно,
удовлетворяют системе уравнений:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
+−=
+=
,
,
,
3332321313
2111122
2121111
xaxaxax
xaxax
xaxax
ρ
εερ
ρ
или
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−++
=−+−
=+−
.0
,0
,0
333232131
211112
212111
xaxaxa
xaxa
xaxa
ρ
ρεε
ρ
(2)
Система (2) однородных линейных уравнений имеет ненулевые решения
тогда и только тогда, когда равен нулю ее определитель, то есть при условии:
.00
0
333231
1112
1211
=
−
−−
−
ρ
ρεε
ρ
aaa
aa
aa
(3)
Преобразуем уравнение (3) к виду:
(
)( )
(
)
(
)
0
2
12111133
=+−−− aaaa
ερερρ
. (4)
Последнее уравнение имеет три корня
,
331
a=
ρ
() ()
(
)
2
411
2
12
2
11
2
2
1111
3,2
aaaa +−+±+
=
εεε
ρ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
