Составители:
Рубрика:
58
()()
(
)()
(
)
(
)
.0
2
12
2
113333112113332232121133311
=+−++−+−− aaaxaaaaaxaaaaax
(8)
Предположим, что преобразование имеет еще одну действительную
инвариантную прямую. Тогда точка ее пересечения с прямой (8) является
двойной точкой преобразования. Но данное преобразование действительных
двойных точек не имеет, следовательно, прямая (8) – единственная
неподвижная прямая преобразования.
Итак, в первом (наиболее общем) случае преобразование имеет
следующие инвариантные элементы: две несобственные комплексно
сопряженные точки; одну
действительную неизотропную прямую.
2. Уравнение (4) имеет двукратный корень
Каждое из равенств ρ
1
= ρ
2
, ρ
1
= ρ
3
приводит к совпадению всех корней
уравнения (4), поэтому в рассматриваемом случае эти равенства неуместны.
Остается возможным: ρ
2
= ρ
3
. Тогда а
12
= 0.
Система уравнений (2) при ρ = ρ
1
определяет единственную двойную
точку P (0:0:1), а при ρ = ρ
2
= ρ
3
– множество двойных точек, совпадающее с
неизотропной прямой
(
)
.0
31133232131
=
−
+
+ xaaxaxa
(9)
Итак, в случае существования двукратного корня уравнения (4) имеем
поточечную неподвижность неизотропной (так как а
33
≠ а
11
) прямой (9) и, как
следствие, – неподвижность каждой изотропной прямой.
Преобразование такого вида (при а
12
= 0) назовём коллинеарным,
учитывая, что каждая точка плоскости коллинеарна со своим образом в
данном преобразовании.
3. Уравнение (4) имеет трёхкратный корень
В этом случае а
12
= а
11
– а
33
= 0.
Первые два уравнения системы (5) являются тождествами.
Следовательно, при а
31
≠ 0, а
32
≠ 0 все неподвижные точки преобразования
заполняют изотропную прямую
.0
232311
=
+
xaax
(10)
Двойных неизотропных прямых преобразование, очевидно, не имеет.
При дополнительных условиях на коэффициенты, а
31
= а
32
= 0, получим
частный вид преобразования – тождественное преобразование.
2. Преобразования второго рода
При ε = –1 уравнение (4) имеет следующие корни:
331
a=
ρ
,
2
12
2
113,2
aa +±=
ρ
.
Рассмотрим все возможные случаи взаимного отношения указанных
корней.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
