Составители:
Рубрика:
60
Отметим, что при а
12
= 0 системы уравнений (12) определяют двойные
точки преобразования: (а
11
– а
33
: 0 : а
31
) и (0 : а
11
+ а
33
: – а
32
), неподвижные
изотропные прямые: x
2
= 0 и x
1
= 0, проходящие через эти точки, и двойную
неизотропную прямую (14).
2. Уравнение (4) имеет двукратный корень
Тогда априори возможны три случая:
ρ
1
= ρ
2
≠ ρ
3
, ρ
1
= ρ
3
≠ ρ
2
, ρ
2
= ρ
3
≠ ρ
1
.
Но в последнем случае получаем а
11
= а
12
= 0. Это приводит к равенству
нулю определителя матрицы (1) преобразований группы G, то есть сама
матрица не задает преобразование коевклидовой плоскости. Нас этот случай
не интересует.
В первом (втором) случае имеем
2
12
2
1133
aaa +=
(
)
2
12
2
1133
aaa +−=
. (16)
Достаточно исследовать один из указанных случаев, например, первый,
так как матрица проективных преобразований определена с точностью до
общего ненулевого множителя, и во втором случае, умножив на (–1) все
коэффициенты матрицы преобразований, придем к первому равенству (16).
При ρ = ρ
1
= ρ
2
система уравнений (2) имеет вид
(
)
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
=++−
=++−
.0
,0
,0
232131
2
2
12
2
1111112
2121
2
12
2
1111
xaxa
xaaaxa
xaxaaa
(17)
Ранг последней системы уравнений меньше трёх, так как коэффициенты
первых двух уравнений пропорциональны. Если ранг системы уравнений (17)
равен двум, то получаем единственную двойную точку P (0:0:1). Если ранг
системы уравнений (17) равен единице, коэффициенты уравнений в этом
случае удовлетворяют двум условиям
0
333132123111
=
++ aaaaaa
,
0
333231123211
=
−
−
aaaaaa
, (18)
то в данном преобразовании инвариантны все точки изотропной прямой (10).
Заметим, что при a
12
≠ 0 и выполнении одного из равенств (16) условия
(18) равносильны.
При
2
12
2
113
aa +−==
ρρ
и первом условии (16) система уравнений (2)
принимает вид
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
