Составители:
Рубрика:
61
(
)
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=++−+
=+++
.02
,0
,0
3
2
12
2
11232131
2
2
12
2
1111112
2121
2
12
2
1111
xaaxaxa
xaaaxa
xaxaaa
(19)
Для каждой коллинеации коевклидовой плоскости
0
2
12
2
11
≠+ aa
.
Поэтому последнее уравнение системы (19) определяет неизотропную
прямую, следовательно, сама система (её ранг равен двум) определяет
собственную неподвижную точку преобразования
):2:)(2(
3331321231113312331133
aaaaaaaaaaaK
+
−
−
−
.
Изотропная прямая k (a
12
: a
33
– a
11
: 0), проходящая через эту
неподвижную точку, является двойной прямой преобразования.
Докажем, что в рассматриваемом случае преобразование имеет еще одну
двойную изотропную прямую.
∗
Существует единственная изотропная прямая m, гармонически
разделяющая с прямой k пару абсолютных прямых, переходящих друг в
друга в преобразовании второго рода. Пусть m' – ее образ в данном
преобразовании. Учитывая инвариантность прямой k, имеем (l
1
l
2
km) =
(l
2
l
1
km') = –1, но (l
1
l
2
km') = (l
2
l
1
km')
–1
= –1, поэтому (l
1
l
2
km') = (l
1
l
2
km).
Следовательно, прямые m и m' совпадают.
Итак, при условии
2
12
2
11
2
33
aaa +=
(20)
преобразование имеет две неподвижные ортогональные изотропные прямые
и одну неподвижную точку на одной из этих прямых.
Заметим, что при условиях (18) и a
12
≠ 0 указанная неподвижная точка
имеет координаты (a
11
– a
33
: a
12
: a
31
) и является центром пучка неизотропных
прямых, инвариантных в силу поточечной неподвижности прямой (10).
Если a
12
= 0, то условие (20) определяет два варианта: a
11
=a
33
и a
11
= –a
33
.
В первом случае неподвижная точка имеет координаты:
(0: –2a
11
: a
32
). Если a
31
= 0, то есть если выполняются условия (18), эта точка
является центром пучка инвариантных неизотропных прямых.
Во втором случае неподвижная точка (2a
11
:0: a
31
) при a
32
= 0, то есть при
условиях (18), также является центром пучка двойных неизотропных
прямых.
Таким образом, при одновременном выполнении условий (18), (20)
преобразование имеет поточечно неподвижную изотропную прямую,
∗
Данный факт непосредственно следует и из теоремы 8 о свойстве преобразований
второго рода, которая будет доказана в следующем параграфе.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
